九州大学 1990年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$x y -$ 平面上の曲線 $C : y = x^{n}$ （ $n$ は4以上の整数）上の点 $P (t, t^{n})$ $(t > 0)$ における法線が $y$ 軸と交わる点を $Q$ とする．

(1) 原点を $O$ とするとき，曲線 $C$ と2つの線分 $P Q$ ， $O Q$ で囲まれる部分の面積を求めよ．

(2) この面積の最小値を求めよ．またそのときの $t$ の値を求めよ．

出典：九州大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

接線の傾き $n t^{n - 1}$ から法線の式を作り、 $y$ 軸との交点 $Q$ を求める。囲まれる部分は $0 ≦ x ≦ t$ で法線の下、曲線 $y = x^{n}$ の上にあるので、その差を積分する。得た面積 $S (t)$ は2項の和で、 $t > 0$ に対して微分して最小を調べる。臨界点での関係式を使い、最小値を簡潔に整理する。

解答

(1)

曲線 $y = x^{n}$ の $P (t, t^{n})$ における接線の傾きは $n t^{n - 1}$ である。したがって法線の傾きは $- \frac{1}{n t ^{n - 1}}$ であり、法線の方程式は $y - t^{n} = - \frac{1}{n t ^{n - 1}} (x - t)$ である。これに $x = 0$ を代入すると、 $Q$ の $y$ 座標は $t^{n} + \frac{t}{n t ^{n - 1}} = t^{n} + \frac{1}{n} t^{2 - n}$ である。 $0 ≦ x ≦ t$ において、法線上の点の $y$ 座標は $t^{n} + \frac{1}{n} t^{2 - n} - \frac{x}{n t ^{n - 1}}$ である。求める面積を $S (t)$ とすると $S (t) = \int_{0}^{t} (t^{n} + \frac{1}{n} t^{2 - n} - \frac{x}{n t ^{n - 1}} - x^{n}) d x$ である。各項を積分して

S (t) = t^{n + 1} + \frac{1}{n} t^{3 - n} - \frac{1}{2 n} t^{3 - n} - \frac{1}{n + 1} t^{n + 1} = \frac{n}{n + 1} t^{n + 1} + \frac{1}{2 n} t^{3 - n}

を得る。

(2)

$t > 0$ で $S (t) = \frac{n}{n + 1} t^{n + 1} + \frac{1}{2 n} t^{3 - n}$ を微分すると $S^{'} (t) = n t^{n} + \frac{3 - n}{2 n} t^{2 - n}$ である。最小となる候補は $S^{'} (t) = 0$ を満たす点であり、これは $n t^{n} = \frac{n - 3}{2 n} t^{2 - n}$ すなわち $t^{2 n - 2} = \frac{n - 3}{2 n ^{2}}$ である。 $n ≧ 4$ なので右辺は正で、解は $t = (\frac{n - 3}{2 n ^{2}})^{\frac{1}{2 n - 2}}$ である。

また $t \to 0 +$ では $t^{3 - n} \to \infty$ 、 $t \to \infty$ では $t^{n + 1} \to \infty$ であるから、この臨界点で面積は最小となる。

臨界点では $t^{n + 1} = \frac{n - 3}{2 n ^{2}} t^{3 - n}$ である。これを $S (t)$ に代入すると、最小値は

S_{m i n} = \frac{n}{n + 1} \cdot \frac{n - 3}{2 n ^{2}} t^{3 - n} + \frac{1}{2 n} t^{3 - n} = \frac{n - 1}{n ( n + 1 )} t^{3 - n}

である。したがって

S_{m i n} = \frac{n - 1}{n ( n + 1 )} (\frac{n - 3}{2 n ^{2}})^{\frac{3 - n}{2 n - 2}}

である。

九州大学 1990年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1990年度
後期・理系数学後期第3問