問題
行列によって表される1次変換は，楕円 を半径1の円に移すとする．
(1) ，，の値を求めよ．
(2) この楕円に内接し，各辺が軸または軸に平行である長方形は，1次変換によって正方形に移されているとする．長方形を求めよ．
出典：九州大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
楕円が1次変換で単位円に移るという条件は、もとの点 が楕円上にあることと、変換後の点が を満たすことが同じ、という意味である。そこで を展開し、軸に平行な楕円の式と係数比較して を決める。(2) は長方形の頂点を とおき、横辺・縦辺が移された後の方向と長さを調べ、正方形になる条件と楕円上の条件を連立する。
解答
(1)
変換後の点を とすると である。楕円上の点が半径 の円に移るので、楕円は を で書いたものに等しい。すなわち である。展開すると となる。
これが という座標軸に平行な楕円の式と一致するためには、 の係数が でなければならない。よって から である。このとき だから である。 より である。
(2)
長方形の各辺は座標軸に平行で、楕円は原点に関して対称である。したがって長方形の頂点を とおける。楕円上にある条件は である。
横方向の辺ベクトル は、変換によって に移る。縦方向の辺ベクトル は に移る。これらの内積は であるから、移った後の隣り合う辺は直交している。
正方形になるには、さらにこの2つの辺の長さが等しければよい。したがって であり、 より である。これを楕円条件に代入すると だから である。
したがって求める長方形は を頂点にもつ長方形である。