問題
，を正の定数とする．直線と放物線との交点で原点と異なるものをとする．この放物線と軸で囲まれる部分の面積をとし，放物線と軸およびを通り軸に平行な直線で囲まれる部分の面積をとする．
(1) ，を，で表せ．
(2) とするとき，をで表せ．
出典：九州大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
直線と放物線の原点以外の交点を先に求めると、 を通る縦線は と分かる。 は放物線が 軸の下にある の面積、 は放物線が 軸の上にある の面積として積分する。(2) は比 を、正の比 に直して3次方程式を因数分解する。
解答
(1)
直線と放物線の交点は で決まる。整理すると であるから、原点と異なる交点 の 座標は である。したがって、 を通り 軸に平行な直線は である。
放物線 は、 で 軸の下側にある。よって
である。
一方、 では放物線は 軸の上側にあるので である。計算すると
である。
(2)
条件 より である。ここで なので とおくと、 であり となる。すなわち である。左辺は と因数分解できる。 では だから、解は だけである。したがって である。