九州大学 1990年度文系数学第1問（理系第2問）解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} \times (1 - \frac{1}{10 ^{n}})$ $(n ≧ 1)$ で定める．

(1) $a_{2}$ ， $a_{3}$ を計算し，答を小数で書け．

(2) $n ≧ 2$ のとき $a_{n} ≦ 0.9$ かつ $a_{n} - a_{n + 1} ≦ \frac{9}{10 ^{n + 1}}$ が成り立つことを示せ．

(3) すべての $n$ に対して $a_{n} > 0.89$ が成り立つことを示せ．

出典：九州大学 1990年度前期日程第2次学力試験文系第1問（理系第2問）

方針

漸化式を積の形だけで見るのではなく、まず各因子が $0$ と $1$ の間にあることから正値性と単調減少を確認する。差は $a_{n} - a_{n + 1} = a_{n} /1 0^{n}$ と直接出るので、 $n ≧ 2$ では $a_{n} ≦ a_{2} = 0.9$ を使って上から押さえる。(3) は $a_{2}$ からどれだけ減るかを差の和で評価し、有限和が無限等比和より小さいことを使って厳密な下限 $0.89$ を出す。

解答

(1)

定義より $a_{2} = a_{1} (1 - \frac{1}{10}) = 1 \cdot \frac{9}{10} = 0.9$ である。また $a_{3} = a_{2} (1 - \frac{1}{1 0 ^{2}}) = 0.9 \cdot 0.99 = 0.891$ である。

(2)

各 $n ≧ 1$ について $0 < 1 - \frac{1}{1 0 ^{n}} < 1$ である。したがって $a_{1} > 0$ からすべての $a_{n}$ は正であり、しかも数列 $a_{n}$ は単調に減少する。特に $n ≧ 2$ なら $a_{n} ≦ a_{2} = 0.9$ である。

また漸化式から $a_{n} - a_{n + 1} = a_{n} - a_{n} (1 - \frac{1}{1 0 ^{n}}) = \frac{a _{n}}{1 0 ^{n}}$ である。 $n ≧ 2$ では $a_{n} ≦ 0.9$ だから $a_{n} - a_{n + 1} ≦ \frac{0.9}{1 0 ^{n}} = \frac{9}{1 0 ^{n + 1}}$ である。

(3)

$n = 1$ では $a_{1} = 1 > 0.89$ 、 $n = 2$ では $a_{2} = 0.9 > 0.89$ である。 $n ≧ 3$ とする。(2) の差の評価を足し合わせると

a_{2} - a_{n} = (a_{2} - a_{3}) + (a_{3} - a_{4}) + \dots + (a_{n - 1} - a_{n}) ≦ k = 2 \sum n - 1 \frac{9}{1 0 ^{k + 1}}

である。右辺は有限和なので

k = 2 \sum n - 1 \frac{9}{1 0 ^{k + 1}} < k = 2 \sum \infty \frac{9}{1 0 ^{k + 1}} = \frac{9}{1 0 ^{3}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{1}{100}

である。したがって $a_{n} > a_{2} - \frac{1}{100} = 0.9 - 0.01 = 0.89$ となる。以上より、すべての $n$ に対して $a_{n} > 0.89$ が成り立つ。

九州大学 1990年度文系数学 第1問（理系 第2問）

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 1990年度
文系数学第1問（理系第2問）