問題
平面上で，点を点に，点を点に移す1次変換をとし，原点のまわりの角度の回転をとする．
(1) とを表す行列をそれぞれ求めよ．
(2) 合成変換を表す行列とその逆行列を求めよ．
(3) によって，円が移される曲線の方程式を求めよ．
出典：九州大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
(1) は1次変換では標準基底の移り先が行列の列になることを使う。 は45度回転の標準行列である。(2) は合成 なので、行列は の行列を左から掛ける。逆行列は2次正方行列の公式で求める。(3) は移った後の点を とし、逆変換で元の点 に戻して に代入する。
解答
(1)
は を に、 を に移す。したがって を表す行列は、これらを第1列、第2列にもつ
である。
また、原点のまわりの 回転を表す行列は
である。
(2)
合成変換 では、まず 、次に を行うので、行列は である。よって
である。
この行列の逆行列を求める。まず
であるから、 の逆行列は
である。
(3)
移った後の点を とする。逆変換を用いると、元の点 は
である。元の点は単位円上にあるので
である。展開すると交差項が消え、 となる。したがって、通常の座標を と書けば、求める曲線は である。