問題
4枚の硬貨を投げる試行を考える．表の出た枚数を，裏の出た枚数をとする．ならば右に1歩，ならば左に1歩進み，のときはその場にとどまる．
(1) 3回の試行の後，初めにいた場所から右に1歩進んだ所にいる確率を求めよ．
(2) 3回の試行の後，初めにいた場所から右に歩離れている場合の得点はとし，それ以外の場合の得点は0とする．得点の期待値を求めよ．
出典：九州大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問（理系 第3問）
方針
1回の試行を右 、左 、停止 の3状態に分類し、それぞれの確率を先に求める。3回後の位置は の個数で決まるので、(1) は合計変位が になる並びを数える。(2) は右へ 歩の確率をそれぞれ求め、得点を掛けて足す。別解として、1回分の変位を表す多項式を3乗し、正の次数の係数から確率と期待値を読んでもよい。
解答
(1)
4枚の硬貨で表が裏より多いのは、表が3枚または4枚のときである。したがって1回の試行で右へ進む確率は
である。左へ進む確率も同じく であり、停止する確率は である。
右、左、停止をそれぞれ と書く。3回後に右へ1歩の位置にいるには、 が並ぶ場合、または が並ぶ場合である。よって求める確率は
である。
(2)
右へ3歩の位置にいるのは3回とも の場合なので、その確率は である。右へ2歩の位置にいるのは が並ぶ場合なので、確率は である。右へ1歩の位置にいる確率は (1) より である。
したがって得点の期待値は
である。
別解。1回の試行による変位を指数で表すと、確率を含めた式は である。3回後の分布はこの3乗の各次数の係数で読める。正の次数だけを使えば、 の係数がそれぞれ上で求めた右へ 歩の確率になり、期待値も同じく と求まる。