九州大学 1989年度理系数学第5問解答・解説

問題

ある公園に，同一地点 $P$ を通る1周1kmのジョギングコース $A$ と1周2kmのジョギングコース $B$ ， $C$ がある．各コースはそれぞれ定められた方向にのみ走るものとして， $P$ を出発点とし $P$ をゴールとする $n$ kmのコースを考え， $n$ kmコースの総数を $f_{n}$ とする．
% 図は省略

(1) 2次方程式 $t^{2} - t - 2 = 0$ の2つの解を $α$ ， $β$ とし， $g_{n} = f_{n} - α f_{n - 1}$ とおくと， $n ≧ 2$ のとき $g_{n + 1} = β g_{n}$ が成り立つことを示せ．

(2) $f_{n}$ を求めよ．

(3) $n \to \infty lim \frac{lo g f _{n}}{n}$ を求めよ．

出典：九州大学 1989年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

最後に走る1周を見て、1kmの $A$ で終わる場合と、2kmの $B, C$ で終わる場合に分けると $f_{n} = f_{n - 1} + 2 f_{n - 2}$ が得られる。指定された $g_{n}$ の式は、この漸化式と $α + β = 1$ 、 $α β = - 2$ を代入して確認する。一般項は特性方程式の2根 $2, - 1$ と初期値から決め、極限は主要項 $2^{n + 1} /3$ を取り出して求める。

解答

(1)

$n$ km のコースの最後に走る1周で分類する。最後が1kmのコース $A$ なら、その前までは $n - 1$ km のコースである。最後が2kmのコース $B$ または $C$ なら、その前までは $n - 2$ km のコースであり、最後の選び方が2通りある。したがって $f_{n} = f_{n - 1} + 2 f_{n - 2} (n ≧ 2)$ である。添字を1つ上げれば $f_{n + 1} = f_{n} + 2 f_{n - 1}$ である。 $α, β$ は $t^{2} - t - 2 = 0$ の2根であるから、 $α + β = 1, α β = - 2$ を満たす。よって

g_{n + 1} = f_{n + 1} - α f_{n} = f_{n} + 2 f_{n - 1} - α f_{n} = (1 - α) f_{n} + 2 f_{n - 1} = β f_{n} - α β f_{n - 1} = β (f_{n} - α f_{n - 1}) = β g_{n} .

したがって $n ≧ 2$ のとき $g_{n + 1} = β g_{n}$ が成り立つ。

(2)

初期値は $f_{1} = 1, f_{2} = 3$ である。実際、1kmでは $A$ のみ、2kmでは $AA, B, C$ の3通りである。漸化式 $f_{n} = f_{n - 1} + 2 f_{n - 2}$ の特性方程式は $t^{2} - t - 2 = 0$ で、その解は $t = 2, t = - 1$ である。したがって $f_{n} = A 2^{n} + B (- 1)^{n}$ とおける。初期値を代入すると $2 A - B = 1, 4 A + B = 3.$ これを解いて $A = \frac{2}{3}, B = \frac{1}{3}$ を得る。よって $f_{n} = \frac{2}{3} 2^{n} + \frac{1}{3} (- 1)^{n} = \frac{2 ^{n + 1} + ( - 1 ) ^{n}}{3}$ である。

別解。2kmのコースをちょうど $j$ 回走るとする。このとき残りは1kmのコース $A$ を $n - 2 j$ 回走るので、走る周回の総数は $n - j$ 回である。この中で2kmの周回を置く場所を選ぶ方法が $_{n - j} C_{j}$ 通り、さらに各2km周回は $B, C$ の2通りなので、 $f_{n} = \sum_{j = 0}^{⌊ n /2 ⌋}_{n - j} C_{j} 2^{j}$ とも表せる。この式も同じ漸化式と初期値を満たすため、上で求めた一般項と一致する。

(3)

(2)より

f_{n} = \frac{2 ^{n + 1} + ( - 1 ) ^{n}}{3} = \frac{2 ^{n + 1}}{3} (1 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n + 1}})

である。したがって

lo g f_{n} = (n + 1) lo g 2 - lo g 3 + lo g (1 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n + 1}}) .

最後の対数の中身は1に近づくので、その対数は0に近づく。よって両辺を $n$ で割ると $lim_{n \to \infty} \frac{l o g f _{n}}{n} = lo g 2$ である。

九州大学 1989年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 1989年度
理系数学第5問