問題
枚の硬貨を同時に投げて，表が枚出るとき とする．
(1) 確率変数の期待値と分散に対して，が成り立つことを示せ．
(2) が，の範囲を動くとき，のとりうる値の範囲を求めよ．
出典：九州大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
表の枚数を とおくと は二項分布に従い、 である。したがって と は二項定理で一気に求まる。値域は の範囲に帰着し、 と変形すれば端点の扱いまで明確になる。
解答
(1)
表の枚数を とする。表が 枚出る確率は であり、そのとき である。したがって
である。同様に、 だから
である。
分散は なので、
では だから、両辺の平方根をとって を得る。
(2)
(1)の右辺で とおくと、 である。ここで
では であるから、 である。よって 左端の等号は のときに成り立つ。一方、 または のとき であるが、 の有限の値では にはならない。
したがって であり、求める値の範囲は である。
別解。 の範囲は微分でも確認できる。 であるから、 で減少し、 で増加する。したがって最小値は での であり、両端 、 で2に近づく。