問題
関数は，を満たすものとする．
(1) を求めよ．
(2) 曲線の凹凸および変曲点を調べ，概形を描け．
出典：九州大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
まず を代入して初期値を得て、両辺を微分して微分方程式 に直す。解を求めたら、元の積分方程式を満たすことを確認する。凹凸は の符号で判定し、 となる位置を境に変曲点を決める。別解として を置くと対数計算を短くできる。
解答
(1)
与えられた式に を代入すると である。また、両辺を で微分すると を得る。これを分離して と書く。ここで であるから、積分して となる。 より である。初期値の近くでこの比は負であり、求める式は と書ける。これを について解くと より である。
確認として、この関数は を満たし、 である。一方
なので、確かに微分方程式を満たす。初期値も一致するため、元の積分方程式を満たす。
別解。 とおくと、上の微分方程式から
である。 だから、 は微分しても自分自身になる関数であり、 となる。したがって を得る。
(2)
(1)より である。したがって であり、曲線は全体で減少する。
さらに である。 となるのは すなわち である。 では なので 、かつ より である。 では なので 、よって である。
したがって変曲点は である。また である。概形は、左で直線 に近づき、右で に近づく減少曲線で、 を境に上に凸から下に凸へ変わる形になる。