九州大学 1989年度文系数学第4問解答・解説

問題

$A$ さんと $B$ 君が所属する $n$ 人から成るあるクラブで， $k$ 人 $(2 ≦ k ≦ n)$ のクラブ委員をくじ引きで選ぶことになった．くじ引きは $k$ 回行い，それぞれの回ではそれまでの回に委員として選ばれた人を除いて1人の委員を選ぶこととした．

(1) $A$ さんがクラブ委員に選ばれない確率を求めよ．

(2) $A$ さんも $B$ 君もともにクラブ委員に選ばれない確率を求めよ．

(3) $A$ さんも $B$ 君もともにクラブ委員に選ばれる確率を求めよ．

出典：九州大学 1989年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

くじ引きは順番に行われるが、最終的な委員の集合は $n$ 人から $k$ 人を等確率に選ぶ場合と同じである。したがって組合せで数えるのが最短である。端の場合 $k = n$ や $k = n - 1$ でも式が0を与えることを確認し、別解として逐次確率や余事象でも同じ式を導く。

解答

(1)

くじ引きは順に行われるが、最終的に選ばれる $k$ 人の集合は、 $n$ 人から $k$ 人を選ぶ場合と同じ確率で現れる。したがって全体の場合の数は $_{n} C_{k}$ である。 $A$ さんが選ばれないためには、 $A$ さん以外の $n - 1$ 人から $k$ 人を選べばよい。よって求める確率は

\frac{_{n - 1} C _{k}}{_{n} C _{k}} = \frac{( n - 1 )!}{k ! ( n - 1 - k )!} \cdot \frac{k ! ( n - k )!}{n !} = \frac{n - k}{n} .

$k = n$ のときも、この式は0となり実際と一致する。

(2)

$A$ さんも $B$ 君も選ばれないためには、この2人を除いた $n - 2$ 人から $k$ 人を選ぶ必要がある。したがって

\frac{_{n - 2} C _{k}}{_{n} C _{k}} = \frac{( n - 2 )!}{k ! ( n - 2 - k )!} \cdot \frac{k ! ( n - k )!}{n !} = \frac{( n - k ) ( n - k - 1 )}{n ( n - 1 )} .

$k = n - 1$ または $k = n$ のときは、2人とも選ばれないことは不可能であり、右辺も0になる。

(3)

$A$ さんも $B$ 君も選ばれるためには、この2人をあらかじめ含めて、残り $k - 2$ 人を他の $n - 2$ 人から選べばよい。よって

\frac{_{n - 2} C _{k - 2}}{_{n} C _{k}} = \frac{( n - 2 )!}{( k - 2 )! ( n - k )!} \cdot \frac{k ! ( n - k )!}{n !} = \frac{k ( k - 1 )}{n ( n - 1 )} .

別解。逐次的に考えると、 $A$ さんが選ばれない確率は

\frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 2}{n - 1} \dots \frac{n - k}{n - k + 1} = \frac{n - k}{n}

である。また、 $A$ さんと $B$ 君の両方が選ばれる確率は余事象を使って $1 - 2 \cdot \frac{n - k}{n} + \frac{( n - k ) ( n - k - 1 )}{n ( n - 1 )}$ と書ける。分子を整理すると $\frac{n ( n - 1 ) - 2 ( n - k ) ( n - 1 ) + ( n - k ) ( n - k - 1 )}{n ( n - 1 )} = \frac{k ( k - 1 )}{n ( n - 1 )}$ となり、同じ結果を得る。

九州大学 1989年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 1989年度
文系数学第4問