問題
4次多項式はある1次式をとると，が
と因数分解される．
(1) とおよびを求めよ．
(2) 関数の増減を調べ，直線との位置関係が明らかになるように曲線の概形を描け．ただし，極小値は求めなくてよい．
(3) 曲線と直線によって囲まれる図形の面積を求めよ．
出典：九州大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
右辺の平方積を展開し、 が1次式であることから4次、3次、2次の係数を比較する。概形では の符号変化で増減を押さえ、さらに から直線との接し方を読む。面積は差の積分で求めるが、区間長3の対称な積分として処理する別解も有効である。
解答
(1)
である。展開すると
ここで は1次式なので、 の4次、3次、2次の係数は と一致する。よって したがって より は の2根で、 だから このとき である。したがって (2) である。 の解は であるから、増減は
すなわち、
である。特に で極大値 をとる。
また であり、等号は のときだけである。したがって曲線 は常に直線 の上側にあり、 と で直線に接する。概形は、上の増減を反映した4次曲線を描き、直線 が2点 、 で接するように描けばよい。
(3)
囲まれる部分は、接点の 座標により にある。この区間では だから、面積 は である。展開して計算すると であり、
別解。 とおくと、、積分区間は である。したがって よって
この形では、2つの接点の間隔が3であることから、面積が になることもすぐに確認できる。