九州大学 1989年度
文系数学 第2問（理系 第2問）

解答

(1)

倍角公式を用いると

であるから、$f(x)=\frac{a+c}{2}+\frac{a-c}{2}\cos 2x+b\sin 2x.$ ここで $R=\sqrt{{\left(\frac{a-c}{2}\right)}^2+b^2}$ とおく。$R>0$ のとき、ある角 $\varphi$ を用いて $\frac{a-c}{2}=R\cos \varphi ,b=R\sin \varphi$ と表せるので、$\frac{a-c}{2}\cos 2x+b\sin 2x=R\cos (2x-\varphi )$ である。したがってこの部分の最小値は $-R$、最大値は $R$ である。$R=0$ のときはこの部分が常に0なので、同じ結論でよい。よって $\min f(x)=\frac{a+c}{2}-R,\max f(x)=\frac{a+c}{2}+R.$ 一方、与えられた2次方程式の判別式は $(a+c{)}^2-4(ac-b^2)=(a-c{)}^2+4b^2$ である。したがって2根は

である。$\alpha \leqq \beta$ より、これらはそれぞれ $\alpha ,\beta$ である。ゆえに関数 $f(x)$ の最小値は $\alpha$、最大値は $\beta$ である。

(2)

であるから、$A^2=A$ は $a^2+b^2=a,b(a+c)=b,b^2+c^2=c$ と同値である。

まず $b\ne 0$ とする。このとき中央の式から $a+c=1$ である。また $b^2=a-a^2=a(1-a)=ac$ だから、(1)で用いた2次方程式は $t^2-(a+c)t+ac-b^2=t^2-t=t(t-1)$ となる。よって最小値は $0$、最大値は $1$ である。

次に $b=0$ とする。このとき $a^2=a,c^2=c$ であるから、$a,c$ はそれぞれ $0$ または $1$ である。 $(a,c)=(0,0)$ なら $f(x)=0$ なので最小値も最大値も $0$ である。 $(a,c)=(1,1)$ なら $f(x)={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$ なので最小値も最大値も $1$ である。残る $(a,c)=(1,0),(a,c)=(0,1)$ では、$f(x)$ はそれぞれ ${\cos }^{2}x$、${\sin }^{2}x$ であり、最小値は $0$、最大値は $1$ である。

以上より、

別解。$u=\cos x$、$v=\sin x$ とおくと $u^2+v^2=1$ である。$\alpha$ が方程式の根であることから $(a-\alpha )(c-\alpha )-b^2=0$ であり、また $(a-\alpha )(a-\beta )=-b^2\leqq 0$、$(c-\alpha )(c-\beta )=-b^2\leqq 0$ より $a$ も $c$ も $\alpha$ 以上 $\beta$ 以下にある。したがって、たとえば $a>\alpha$ なら $f(x)-\alpha =(a-\alpha ){\left(u+\frac{b}{a-\alpha }v\right)}^2\geqq 0$ であり、$a=\alpha$ の場合も $b=0$ となるので同様に $f(x)-\alpha \geqq 0$ が従う。同じ考えで $\beta -f(x)\geqq 0$ も示せる。等号は対応する一次式を0にする $(u,v)$ を単位円上で選べば実現できるので、(1)の主張が得られる。