問題
空間内の点を中心とした半径 の球面上に点，をとり，ベクトルとのなす角を とする．
(1) ベクトルの大きさが最小となるようなをで表し，このベクトルの大きさを求めよ．
(2) (1)で求めたに対して，とおく．球面上の点がの大きさが以下となるように動くとき，点は空間内のどんな図形を描くか．
出典：九州大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
二乗して内積で表すと、
t を含む部分は完全平方になる。最小値を出したあと、 が の に垂直な成分であることを確認する。後半では を の範囲に直し、半径方向と向きがどこまで自由に動くかを端点まで調べる。別解として座標を入れると、点 の動く平面と円板の半径が直接読める。
解答
(1)
、 とおくと、 である。したがって
これを完全平方にすると よって最小となるのは のときである。 では だから、最小の大きさは である。 の端でもこの式はそのまま成り立つ。
(2)
(1)の値を用いると である。このベクトルと の内積は
なので、点 は を通り に垂直な平面上にある。また (1) より である。
一方、条件 は を用いて すなわち と同値である。 だから である。したがって
逆に、 を中心とし に垂直な平面上で、 を満たす任意の距離 と任意の向きを選ぶ。 となる がとれ、その向きに対応する球面上の点 を選べば、その点の はちょうど選んだ点になる。よって点 の描く図形は、 である。境界の円周も のときに含まれる。
別解。座標を入れても同じことが見える。 を原点、 とし、 を と表す。このとき
条件 は上で見た通り であり、 は自由に動く。したがって 平面上で半径 から までの全方向が得られる。