九州大学 1988年度理系数学第5問解答・解説

問題

$X$ と $Y$ は互いに独立な確率変数である． $X$ は1と $a$ $(a > 3)$ の2つの値をとり， $Y$ は1と3の値をとる． $X = 1$ である確率を $p$ $(0 ≦ p ≦ 1)$ ， $Y = 1$ である確率を $q$ $(0 ≦ q ≦ 1)$ とし， $Z = X - Y$ とする．

(1) $Z$ の確率分布を求めよ．

(2) 事象 $Z ≧ 0$ の確率を $P$ $(Z ≧ 0)$ とする． $P (Z ≧ 0) ≦ \frac{1}{2}$ を満たす点 $(p, q)$ の集合を図示せよ．

(3) $Z$ の期待値（平均）を $E (Z)$ とする． $E (Z) ≧ 0$ を満たす点 $(p, q)$ の集合を図示せよ．

(4) $P (Z ≧ 0) ≦ \frac{1}{2}$ ， $E (Z) ≧ 0$ を同時に満たす点 $(p, q)$ が存在するための $a$ の条件を求めよ．

出典：九州大学 1988年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

$X, Y$ の4通りを表にして $Z$ の分布を求める。 $a > 3$ なので $a - 3$ と $a - 1$ はどちらも正で、負になるのは $X = 1, Y = 3$ の場合だけである。(2)は $P (Z ≧ 0) ≦ \frac{1}{2}$ を曲線の下側、(3)は期待値条件を直線の上側として単位正方形内に図示する。(4)は2つの領域が交わる条件を、ある $p \in [\frac{1}{2}, 1]$ で下側境界が上側境界以下になることに帰着し、 $c = a - 1$ とおいて最小値を調べる。

解答

【(1)】 $X$ と $Y$ は独立である。可能な組を表にすると

X 11 a a Y 1313 Z = X - Y 0 - 2 a - 1 a - 3 確率 pq p (1 - q) (1 - p) q (1 - p) (1 - q)

である。 $a > 3$ より $a - 3 > 0$ 、 $a - 1 > 0$ なので、これらは $0$ や $- 2$ と重ならない。したがって確率分布は

Z P - 2 p (1 - q) 0 pq a - 3 (1 - p) (1 - q) a - 1 (1 - p) q

である。

【(2)】 $Z < 0$ となるのは $X = 1, Y = 3$ のときだけである。したがって $P (Z ≧ 0) = 1 - p (1 - q)$ である。条件 $P (Z ≧ 0) ≦ \frac{1}{2}$ は $1 - p (1 - q) ≦ \frac{1}{2}$ すなわち $p (1 - q) ≧ \frac{1}{2}$ である。これが成り立つには $p ≧ \frac{1}{2}$ が必要であり、 $p > 0$ のもとで $q ≦ 1 - \frac{1}{2 p}$ となる。

よって図示すべき集合は、単位正方形 $0 ≦ p, q ≦ 1$ の中で $\frac{1}{2} ≦ p ≦ 1, 0 ≦ q ≦ 1 - \frac{1}{2 p}$ を満たす部分である。境界 $q = 1 - \frac{1}{2 p}$ は含まれる。

【(3)】期待値の線形性より $E (Z) = E (X) - E (Y)$ である。ここで $E (X) = 1 \cdot p + a (1 - p) = a - (a - 1) p,$ $E (Y) = 1 \cdot q + 3 (1 - q) = 3 - 2 q$ だから $E (Z) = a - 3 - (a - 1) p + 2 q$ である。条件 $E (Z) ≧ 0$ は $a - 3 - (a - 1) p + 2 q ≧ 0$ すなわち $q ≧ \frac{( a - 1 ) p - ( a - 3 )}{2}$ である。

よって図示すべき集合は、単位正方形 $0 ≦ p, q ≦ 1$ の中で $q ≧ \frac{( a - 1 ) p - ( a - 3 )}{2}$ を満たす部分である。この境界は直線であり、領域はその上側である。

【(4)】(2)と(3)を同時に満たす点が存在するためには、ある $p$ が $\frac{1}{2} ≦ p ≦ 1$ を満たし、さらに $\frac{( a - 1 ) p - ( a - 3 )}{2} ≦ 1 - \frac{1}{2 p}$ となればよい。左辺は(3)の下側境界、右辺は(2)の上側境界である。

この不等式を整理する。 $c = a - 1$ とおくと、 $a > 3$ より $c > 2$ であり、 $a - 3 = c - 2$ である。したがって $\frac{c p - ( c - 2 )}{2} ≦ 1 - \frac{1}{2 p}$ となる。両辺に $2 p > 0$ を掛けると $c p^{2} - c p + 1 ≦ 0$ である。これは $p (c p + \frac{1}{p} - c) ≦ 0$ と同値であり、 $p > 0$ だから $c p + \frac{1}{p} - c ≦ 0$ を調べればよい。 $g (p) = c p + \frac{1}{p} - c$ とおく。 $p \in [\frac{1}{2}, 1]$ でこの値が0以下になるかを考える。

まず $2 < c < 4$ のとき、 $p = \frac{1}{c}$ は $[\frac{1}{2}, 1]$ に入る。このとき相加相乗平均、または微分による増減から $g (p) ≧ 2 c - c$ であり、 $2 < c < 4$ では $2 c - c > 0$ である。したがって条件を満たす点は存在しない。 $c = 4$ のとき、 $p = \frac{1}{2}$ で $g (\frac{1}{2}) = 4 \cdot \frac{1}{2} + 2 - 4 = 0$ となり、条件を満たす点が存在する。 $c > 4$ のときも $p = \frac{1}{2}$ で $g (\frac{1}{2}) = \frac{c}{2} + 2 - c = 2 - \frac{c}{2} < 0$ となるので、条件を満たす点が存在する。

以上より必要十分条件は $c ≧ 4$ である。 $c = a - 1$ に戻すと $a ≧ 5$ である。

九州大学 1988年度理系数学 第5問

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