九州大学 1988年度
理系数学 第1問

解答

【(1)】直線 $y=mx$ の方向ベクトルを $\mathbf{e}=(1,m)$ とする。点 $P(u,v)$ をこの直線に正射影した点を $Q(u^{\prime },v^{\prime })$ とすると、$\overrightarrow{OQ}$ は $\mathbf{e}$ 方向のベクトルであり、$\overrightarrow{OQ}=\frac{(u,v)\cdot (1,m)}{(1,m)\cdot (1,m)}(1,m)$ である。したがって $(u^{\prime },v^{\prime })=\frac{u+mv}{1+m^2}(1,m)$ であり、$u^{\prime }=\frac{u+mv}{1+m^2},v^{\prime }=\frac{m(u+mv)}{1+m^2}$ となる。よって行列 $A$ は、第1行が $\left(\frac{1}{1+m^2},\frac{m}{1+m^2}\right)$、第2行が $\left(\frac{m}{1+m^2},\frac{m^2}{1+m^2}\right)$ の行列である。

【(2)】上で得た $A$ に対し、任意の点 $(u,v)$ をまず $A$ で移すと、$(u^{\prime },v^{\prime })=\frac{u+mv}{1+m^2}(1,m)$ となり、これは直線 $y=mx$ 上の点である。この点をもう一度同じ直線に正射影しても点は変わらない。したがって任意の $(u,v)$ に対し $A^2(u,v)=A(u,v)$ である。よって $A^2=A$ が成り立つ。

式で確認してもよい。$M$ を第1行が $(1,m)$、第2行が $(m,m^2)$ の行列とすると $A=\frac{1}{1+m^2}M$ であり、直接計算で $M^2=(1+m^2)M$ となる。ゆえに $A^2=\frac{1}{(1+m^2{)}^2}{M}^2=\frac{1}{1+m^2}M=A$ である。

【(3)】 $B=A+E$ である。$n=1$ のとき $B=A+E=(2^1-1)A+E$ で成り立つ。

ある自然数 $n$ で $B^n=(2^n-1)A+E$ が成り立つと仮定する。このとき、(2)の $A^2=A$ を用いると

よって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $B^n=(2^n-1)A+E$ が成り立つ。

【(4)】直線 $y=ax$ がそれ自身の上へ移されるためには、その方向ベクトル $(1,a)$ が、変換後も同じ直線の方向を向けばよい。すなわち $B(1,a)$ が $(1,a)$ と平行であればよい。

まず $A(1,a)=\frac{1+ma}{1+m^2}(1,m)$ だから $B(1,a)=(1,a)+\frac{1+ma}{1+m^2}(1,m)$ である。これを成分で書くと $B(1,a)=\left(1+\frac{1+ma}{1+m^2},a+\frac{m(1+ma)}{1+m^2}\right)$ である。

このベクトルが $(1,a)$ と平行である条件は

である。左辺を整理すると

したがって $1+ma=0\text{または}a-m=0$ である。$m\ne 0$ より $a=m,a=-\frac{1}{m}$ を得る。

実際、$a=m$ の直線は射影先の直線そのものであり、$B$ によって方向は変わらない。また $a=-\frac{1}{m}$ の直線は $y=mx$ に垂直で、この方向の点は $A$ によって原点へ送られるため、$B=A+E$ ではやはり同じ直線上に残る。