問題
を正の実数とする．で定義された連続関数がを満たし，かつ次の微分方程式を満たすとする．
(1) を求めよ．
(2) において，関数を求めよ．
(3) を満たすの値をとする．を最小にするの値を求めよ．
出典：九州大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
3つの区間で微分方程式を順に解き、連続性によって次の区間の初期値を引き継ぐ。 では 、 では定数、 では を初期値にした指数関数になる。(3)では が第1・第2区間の値より大きいことを確認してから、第3区間で方程式を解き、 を最小化する。
解答
【(1)】 では であり、 である。したがって である。よって である。
【(2)】 では なので、 は定数である。連続性と(1)より であり、特に である。 では である。 での値 を初期値として解くと である。したがって である。
【(3)】(1)より である。 だから である。第1区間と第2区間では なので、 を満たす点は第3区間にある。
そこで(2)の式を用いると である。両辺は正なので指数を比較して すなわち である。 より である。したがって となる。 に対し、相加相乗平均より であり、等号は のときに限る。よって であり、 を最小にする は である。