九州大学 1988年度文系数学第4問解答・解説

問題

$X$ と $Y$ は互いに独立な確率変数である． $X$ は1と5の値， $Y$ は1と3の値をとる． $X = 1$ である確率を $p$ $(0 ≦ p ≦ 1)$ ， $Y = 1$ である確率を $q$ $(0 ≦ q ≦ 1)$ とし， $Z = X - Y$ とする．

(1) $Z$ の確率分布を求めよ．

(2) $Z ≧ 0$ となる確率を $P$ $(Z ≧ 0)$ とする． $P$ $(Z ≧ 0)$ を $p$ ， $q$ で表せ．

(3) $Z$ の期待値（平均）を $E (Z)$ とする． $E (Z)$ を $p$ ， $q$ で表せ．

(4) $⎩ ⎨ ⎧ P (Z ≧ 0) ≧ \frac{1}{2} E (Z) ≦ 0$ を満たす点 $(p, q)$ の集合を図示せよ．

出典：九州大学 1988年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

独立性により $(X, Y)$ の4通りの確率を掛け算で求め、 $Z = X - Y$ の値と対応させる。 $P (Z ≧ 0)$ は補集合 $Z < 0$ が1通りだけであることを使うと速い。期待値は $E (Z) = E (X) - E (Y)$ で求める。最後は単位正方形 $0 ≦ p, q ≦ 1$ の中で、 $P (Z ≧ 0) ≧ \frac{1}{2}$ から得る曲線の上側と、 $E (Z) ≦ 0$ から得る直線の下側の共通部分を図示する。

解答

【(1)】 $X$ と $Y$ は独立であるから、同時に起こる確率はそれぞれの確率の積で求められる。可能性を表にすると

X 1155 Y 1313 Z = X - Y 0 - 2 42 確率 pq p (1 - q) (1 - p) q (1 - p) (1 - q)

である。したがって $Z$ の確率分布は

Z P - 2 p (1 - q) 0 pq 2 (1 - p) (1 - q) 4 (1 - p) q

である。

【(2)】 $Z < 0$ となるのは $X = 1, Y = 3$ のときだけである。よって $P (Z ≧ 0) = 1 - P (Z < 0) = 1 - p (1 - q)$ である。すなわち $P (Z ≧ 0) = 1 - p + pq$ である。

【(3)】期待値の線形性より $E (Z) = E (X) - E (Y)$ である。ここで $E (X) = 1 \cdot p + 5 (1 - p) = 5 - 4 p,$ $E (Y) = 1 \cdot q + 3 (1 - q) = 3 - 2 q$ だから $E (Z) = 2 - 4 p + 2 q$ である。

【(4)】まず $P (Z ≧ 0) ≧ \frac{1}{2}$ は $1 - p + pq ≧ \frac{1}{2}$ すなわち $p (1 - q) ≦ \frac{1}{2}$ である。 $p = 0$ ではこの条件は成り立つが、後で見る $E (Z) ≦ 0$ と両立しない。 $p > 0$ では $q ≧ 1 - \frac{1}{2 p}$ である。

次に $E (Z) ≦ 0$ は $2 - 4 p + 2 q ≦ 0$ より $q ≦ 2 p - 1$ である。 $0 ≦ q ≦ 1$ と合わせると、この不等式を満たすには $p ≧ \frac{1}{2}$ が必要である。

したがって求める集合は、単位正方形 $0 ≦ p ≦ 1, 0 ≦ q ≦ 1$ の中で $\frac{1}{2} ≦ p ≦ 1, 1 - \frac{1}{2 p} ≦ q ≦ 2 p - 1$ を満たす部分である。図では、曲線 $q = 1 - \frac{1}{2 p}$ の上側、直線 $q = 2 p - 1$ の下側、かつ $\frac{1}{2} ≦ p ≦ 1$ の範囲を塗ればよい。境界はすべて含まれる。両境界は $p = \frac{1}{2}, q = 0$ で接し、 $p = 1$ では $q = \frac{1}{2}$ から $q = 1$ までの縦の線分が領域に含まれる。

九州大学 1988年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

九州大学 1988年度
文系数学第4問