九州大学 1988年度
文系数学 第1問

解答

【(1)】曲線 $y=\frac{1}{2}{x}^2$ の導関数は $y^{\prime }=x$ であるから、点 $P\left(p,\frac{1}{2}{p}^2\right)$ における接線の傾きは $p$ である。したがって接線は $y-\frac{1}{2}{p}^2=p(x-p)$ すなわち $y=px-\frac{1}{2}{p}^2$ である。$x$ 軸との交点 $X$ は $y=0$ として $0=px-\frac{1}{2}{p}^2$ より、$p\ne 0$ だから $X=\left(\frac{p}{2},0\right)$ である。

次に法線を求める。接線の傾きが $p$ なので、法線の傾きは $-\frac{1}{p}$ である。よって法線は $y-\frac{1}{2}{p}^2=-\frac{1}{p}(x-p)$ である。$y$ 軸との交点 $Y$ は $x=0$ として $y-\frac{1}{2}{p}^2=1$ より $Y=\left(0,\frac{1}{2}{p}^2+1\right)$ である。

したがって

$\overrightarrow{PY}=\left(0-p,\frac{1}{2}{p}^2+1-\frac{1}{2}{p}^2\right)=(-p,1)$ である。

【(2)】

である。行列 $A$ の第1列を $(r,u)$、第2列を $(s,v)$ と書く。つまり $A$ は第1行が $(r,s)$、第2行が $(u,v)$ の行列である。

第1の条件 $A\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{PX}$ から $\frac{p}{2}(r,u)=\left(-\frac{p}{2},-\frac{1}{2}{p}^2\right)$ である。$p\ne 0$ より $r=-1,u=-p$ を得る。

第2の条件 $A\overrightarrow{OY}=\overrightarrow{PY}$ から $\left(\frac{1}{2}{p}^2+1\right)(s,v)=(-p,1)$ である。ここで $\frac{1}{2}{p}^2+1=\frac{p^2+2}{2}>0$ だから割ることができ、$s=-\frac{2p}{p^2+2},v=\frac{2}{p^2+2}$ となる。

よって求める行列 $A$ は、第1行が $\left(-1,-\frac{2p}{p^2+2}\right)$ 第2行が $\left(-p,\frac{2}{p^2+2}\right)$ の行列である。