問題
空間内に異なる2点，が与えられている．空間内の点に対して直線上の点をとなるように定める．ただし，はベクトル，の内積を表す．
(1) 点と点が一致するような点はどのような図形を描くか．
(2) を満たすような点はどのような図形を描くか．
出典：九州大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
条件 は、 が から直線 へ下ろした垂線の足であることを表す。(1)は垂線の足が になる点全体を読む。(2)は直線 を座標軸に取り、、 として条件を平方完成する。別解として、ベクトルの分解から線分 を直径とする球面であることも確認する。
解答
【(1)】 は直線 上の点であり、 を満たす。これは、 が直線 に垂直であることを表す。したがって は、点 から直線 に下ろした垂線の足である。 と が一致するためには、 が直線 に垂直であればよい。よって点 の描く図形は、点 を通り、直線 に垂直な平面である。この平面上のどの点を取っても、直線 への垂線の足は になる。
【(2)】 とおく。ただし である。座標を、、 となるように取る。点 を とおくと、直線 は 軸であり、 は の 軸への正射影だから である。
このとき
である。したがって条件
は となる。平方完成すると である。
よって点 は、中心が線分 の中点、半径が の球面上を動く。すなわち、線分 を直径とする球面である。
【別解】 は の直線 への垂線の足なので、 は直線方向の成分 と、それに垂直な成分 に分けられる。したがって である。一方、条件は と読める。直線 上で 、 と見れば、結局 であり、これは主解の式と同じである。したがって線分 を直径とする球面が得られる。