九州大学 1988年度文系数学第3問（理系第2問）解答・解説

問題

座標平面上に点 $P (a, 0)$ $(- 1 ≦ a ≦ 1)$ をとり，曲線 $C : y = x^{2} - 1$ $(x ≧ 1)$ 上に点 $Q (t, t^{2} - 1)$ をとる． $x$ 軸と線分 $P Q$ および曲線 $C$ とで囲まれる図形の面積を $S$ とする．

(1) 面積 $S$ を $a$ と $t$ で表せ．

(2) 点 $P$ と点 $Q$ が関係 $t - a = 2$ を満たしながら動くとき，面積 $S$ を最大にする $P$ と $Q$ の座標および $S$ の最大値を求めよ．

出典：九州大学 1988年度前期日程第2次学力試験文系第3問（理系第2問）

方針

囲まれた図形は、線分 $P Q$ の下にできる三角形から、曲線 $y = x^{2} - 1$ の下の面積を引いて表す。 $a ≦ 1$ 、 $t ≧ 1$ なので、 $x$ 軸上の区間と曲線の始点 $(1, 0)$ を正しく分けることが重要である。(2)では $t - a = 2$ から $a = t - 2$ とし、条件 $- 1 ≦ a ≦ 1$ によって $1 ≦ t ≦ 3$ を得る。最後は1変数関数の増減を調べ、端点も含めて最大を確認する。

解答

【(1)】曲線 $C$ は $x ≧ 1$ で $y = x^{2} - 1$ だから、 $(1, 0)$ から始まり、 $Q = (t, t^{2} - 1)$ まで続く。ここで $t ≧ 1$ である。

線分 $P Q$ と $x$ 軸との間にできる三角形を考えると、底辺の長さは $t - a$ 、高さは $t^{2} - 1$ である。したがってその面積は $\frac{1}{2} (t - a) (t^{2} - 1)$ である。この三角形のうち、曲線 $C$ の下側にある部分、すなわち $\int_{1}^{t} (x^{2} - 1) d x$ を取り除いたものが求める面積 $S$ である。実際、 $a ≦ 1$ なので $x$ 軸上の部分は $P$ から $(1, 0)$ までを含み、曲線との境界は $x = 1$ から $x = t$ までである。

積分を計算すると

\int_{1}^{t} (x^{2} - 1) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - x]_{1}^{t} = \frac{t ^{3}}{3} - t + \frac{2}{3}

である。よって $S = \frac{1}{2} (t - a) (t^{2} - 1) - (\frac{t ^{3}}{3} - t + \frac{2}{3})$ である。

【(2)】条件 $t - a = 2$ より $a = t - 2$ である。 $- 1 ≦ a ≦ 1$ と $t ≧ 1$ から $- 1 ≦ t - 2 ≦ 1, t ≧ 1$ であり、したがって $1 ≦ t ≦ 3$ である。

(1)の式に $t - a = 2$ を代入すると

S (t) = \frac{1}{2} \cdot 2 (t^{2} - 1) - (\frac{t ^{3}}{3} - t + \frac{2}{3}) = - \frac{t ^{3}}{3} + t^{2} + t - \frac{5}{3} .

これを $1 ≦ t ≦ 3$ で最大にする。微分すると $S^{'} (t) = - t^{2} + 2 t + 1 = 2 - (t - 1)^{2}$ である。したがって $S^{'} (t) > 0 (1 < t < 1 + 2), S^{'} (t) < 0 (1 + 2 < t ≦ 3)$ であり、最大は $t = 1 + 2$ でとる。このとき $a = t - 2 = 2 - 1$ であるから $P = (2 - 1, 0)$ である。また

Q = (1 + 2, (1 + 2)^{2} - 1) = (1 + 2, 2 + 22)

である。

最大値は

S (1 + 2) = - \frac{( 1 + 2 ) ^{3}}{3} + (1 + 2)^{2} + (1 + 2) - \frac{5}{3} = - \frac{7 + 5 2}{3} + (3 + 22) + (1 + 2) - \frac{5}{3} = \frac{4 2}{3} .

よって

P = (2 - 1, 0), Q = (1 + 2, 2 + 22), S_{m a x} = \frac{4 2}{3}

である。

九州大学 1988年度文系数学 第3問（理系 第2問）

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文系数学第3問（理系第2問）