九州大学 1985年度文系数学第5問解答・解説

問題

2つの箱 $a$ ， $b$ があり，箱 $a$ には数字 $1, 2, \dots\dots, n$ を書いた札が，それぞれ1枚，2枚， $\dots\dots$ ， $n$ 枚入っている．また，箱 $b$ には数字 $1, 2, \dots\dots, n$ を書いた札が，それぞれ $n$ 枚， $n - 1$ 枚， $\dots\dots$ ，1枚入っている． $A$ は箱 $a$ から $B$ は箱 $b$ より1枚ずつ札を取り出し，取り出した札の数字が大きいほうを勝ちとし，同じ数字のときは引き分けとする．そのとき，次の(1)，(2)に答えよ．

(1) $A$ の勝つ確率を求めよ．

(2) 勝ったほうは両者の札の数字の差の絶対値 $k$ を得点とし，負けたほうは， $- k$ を得点とする．そのとき， $A$ の得点の期待値を求めよ．

出典：九州大学 1985年度前期日程第2次学力試験文系第5問

方針

各箱の総枚数を $T = n (n + 1) /2$ とする。Aが $i$ 、Bが $j$ を取る確率は $i (n + 1 - j) / T^{2}$ であるから、(1)は $i > j$ について重み付き和を取る。(2)は、勝敗にかかわらずAの得点が「Aの札の数字 $-$ Bの札の数字」と一致することに注目する。したがって期待値は $E (X) - E (Y)$ として求められ、複雑な勝敗別の場合分けを避けられる。

解答

{(1)箱 $a$ の札の総数も、箱 $b$ の札の総数も $T = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ である。Aが数字 $i$ を取り、Bが数字 $j$ を取る確率は $\frac{i}{T} \cdot \frac{n + 1 - j}{T} = \frac{i ( n + 1 - j )}{T ^{2}}$ である。Aが勝つのは $i > j$ のときなので、求める確率を $P$ とすると $P = \frac{1}{T ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} i \sum_{j = 1}^{i - 1} (n + 1 - j)$ である。内側の和を計算すると

j = 1 \sum i - 1 (n + 1 - j) = (i - 1) (n + 1) - \frac{( i - 1 ) i}{2} = \frac{( i - 1 ) ( 2 n + 2 - i )}{2} .

したがって

P = \frac{1}{2 T ^{2}} i = 1 \sum n i (i - 1) (2 n + 2 - i) = \frac{1}{2 T ^{2}} i = 1 \sum n {- i^{3} + (2 n + 3) i^{2} - (2 n + 2) i} .

ここで

i = 1 \sum n i = \frac{n ( n + 1 )}{2}, i = 1 \sum n i^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}, i = 1 \sum n i^{3} = {\frac{n ( n + 1 )}{2}}^{2}

を用いると、

i = 1 \sum n i (i - 1) (2 n + 2 - i) = - \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4} + (2 n + 3) \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} - (2 n + 2) \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( n - 1 ) ( 5 n + 6 )}{12} .

よって

P = \frac{1}{2} \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( n - 1 ) ( 5 n + 6 )}{12} \cdot \frac{4}{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}} = \frac{( n - 1 ) ( 5 n + 6 )}{6 n ( n + 1 )} .

(2)

Aの札の数字を $X$ 、Bの札の数字を $Y$ とする。Aが勝つときの得点は $X - Y$ 、Bが勝つときのAの得点は $- (Y - X) = X - Y$ 、引き分けのときも $X - Y = 0$ である。したがって、Aの得点は常に $X - Y$ と表せる。

まず

E (X) = i = 1 \sum n i \cdot \frac{i}{T} = \frac{1}{T} i = 1 \sum n i^{2} = \frac{1}{T} \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} = \frac{2 n + 1}{3}

である。また

E (Y) = j = 1 \sum n j \cdot \frac{n + 1 - j}{T} = \frac{1}{T} {(n + 1) j = 1 \sum n j - j = 1 \sum n j^{2}}

であるから、

E (Y) = \frac{1}{T} {(n + 1) \frac{n ( n + 1 )}{2} - \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}} = \frac{n + 2}{3} .

よってAの得点の期待値は

E (X - Y) = E (X) - E (Y) = \frac{2 n + 1}{3} - \frac{n + 2}{3} = \frac{n - 1}{3} .

}

九州大学 1985年度文系数学 第5問

問題

方針

解答

(2)

九州大学 1985年度
文系数学第5問