九州大学 1985年度文系数学第4問解答・解説

問題

原点 $O$ の座標平面上の点 $P = (x, y)$ を1次変換 ${x^{'} = a x + b y y^{'} = c x + d y$ $(a d - b c \neq = 0)$ でうつした点を $P^{'} = (x^{'}, y^{'})$ とする．このとき，次の(1)，(2)の答えよ．

(1) $a = d$ ， $b = - c$ であるとき， $O$ 以外の任意の点 $P$ に対して $∠ P O P^{'} = θ$ は一定となることを示せ．

(2) 逆に， $O$ 以外の任意の点 $P$ に対して， $∠ P O P^{'} = θ$ が一定であるとき， $a = d$ ， $b = - c$ であることを示せ．

出典：九州大学 1985年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

内積 $S$ と行列式 $D$ で一定角を表す。正則性と単位円上の連続性で向きの符号を固定し、特別角も分けて係数比較する。

解答

{(1) $a = d, b = - c$ とする。このとき $P^{'} = (a x + b y, - b x + a y)$ である。内積を計算すると

O P \cdot O P^{'} = x (a x + b y) + y (- b x + a y) = a (x^{2} + y^{2})

である。また

∣ O P^{'} ∣^{2} = (a x + b y)^{2} + (- b x + a y)^{2} = (a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2})

である。 $a d - b c \neq = 0$ より、この場合は $a^{2} + b^{2} \neq = 0$ である。 $P \neq = O$ とすると $∣ O P ∣ = x^{2} + y^{2}$ であるから、

cos ∠ P O P^{'} = \frac{O P \cdot O P ^{'}}{∣ O P ∣ ∣ O P ^{'} ∣} = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}

となる。これは $P$ によらない。よって $O$ 以外の任意の点 $P$ に対して $∠ P O P^{'} = θ$ は一定である。

(2)

逆に， $O$ 以外の任意の点 $P = (x, y)$ に対して $∠ P O P^{'} = θ$ が一定であるとする。行列は正則なので， $P \neq = O$ なら $P^{'} \neq = O$ である。

S = x x^{'} + y y^{'}, D = x y^{'} - y x^{'}

とおく。 $S$ は $O P$ と $O P^{'}$ の内積， $D$ は両ベクトルの行列式であるから

S = ∣ O P ∣ ∣ O P^{'} ∣ cos θ, ∣ D ∣ = ∣ O P ∣ ∣ O P^{'} ∣ sin θ

が成り立つ。また成分で書けば

S = a x^{2} + (b + c) x y + d y^{2}, D = c x^{2} + (d - a) x y - b y^{2}

である。

まず $0 < θ < π$ かつ $θ \neq = π /2$ とする。このとき単位円上で $D$ は0にならない。 $D$ は連続で単位円はつながっているので，その符号は単位円上で一定である。したがって，ある一定の符号 $ε \in {1, - 1}$ に対して

D = ε tan θ S

がすべての $(x, y)$ で成り立つ。ここで $λ = ε tan θ$ とおき，2次式の係数を比較すると

c = λa, d - a = λ (b + c), - b = λ d

を得る。第1式と第3式を第2式へ代入すれば

d - a = - λ^{2} (d - a)

となる。よって $(1 + λ^{2}) (d - a) = 0$ であり， $d = a$ である。さらに $b = - λ d = - λa = - c$ となる。

残る特別な角も調べる。 $θ = π /2$ なら $S \equiv 0$ なので，係数比較から

a = 0, d = 0, b + c = 0

となり，やはり $a = d, b = - c$ である。 $θ = 0$ または $θ = π$ なら $D \equiv 0$ なので

c = 0, d - a = 0, b = 0

となり，同じ結論を得る。

以上のすべての場合に $a = d, b = - c$ が成り立つ。}

九州大学 1985年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(2)

九州大学 1985年度
文系数学第4問