問題
空間における3直線
について，次の(1)，(2)に答えよ．
(1) 3直線，，が同一平面上にあるようにの値を定めよ．
(2) (1)で定まる平面と平面とのなす角（小さいほうをとる）をとするとき，を求めよ．
出典：九州大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
3直線上の代表点が作る平面 に各方向ベクトルが平行となる条件を連立し、法線から平面角を求める。
解答
{(1)3直線上にある代表点として を取る。これらはすべて を満たす。さらに
は互いに定数倍でないので、3点は1直線上にはない。したがって、この3点を通る平面は一意に決まり、 である。
直線 の方向ベクトルは であり、成分和は であるから、 は平面 に平行である。代表点 も 上にあるので、 は に含まれる。
同様に、 の方向ベクトルは である。これが に平行であるための条件は である。因数分解すると である。
また、 の方向ベクトルは であるから、 が に平行であるための条件は である。因数分解すると である。
3直線が同一平面上にあるには、 がともに に含まれる必要がある。したがって を同時に満たす必要がある。 と を同時に0にすると、差を取って となるが、 は を満たさない。よって共通解は のみである。実際 のとき両方の条件を満たし、3直線は 上にある。
(2)
(1) より平面は である。 の法線ベクトルは であり、 平面の法線ベクトルは である。2平面のなす角 は、法線ベクトルどうしのなす角の小さい方に等しいから、
である。したがって よって
したがって である。}