問題
行列をで表す．
(1) 1次変換は，，が整数ならば，，も整数になるものとする．このとき，，，，が整数であることを示せ．
(2) 上の性質に加えて，が逆行列をもつとする．さらに，逆写像は，，が整数ならば，，も整数になるものとする．このとき，の値は1またはであることを示せ．
出典：九州大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
(1) は整数点 と を代入し、列成分が整数であることを読む。(2) は逆変換にも同じ議論を適用して の成分も整数であることを示す。すると とその逆数がともに整数になるので、値は に限られる。
解答
(1)
整数点 を代入すると である。仮定より、整数 に対して も整数になるので、 は整数である。
また を代入すると である。したがって も整数である。
よって である。
(2)
(1)より の成分はすべて整数である。さらに、逆変換についても「整数点を整数点へ移す」という同じ性質が仮定されているので、(1) と同じ議論により の成分もすべて整数である。
ここで とおく。 は逆行列をもつので である。また
である。 の成分が整数であるから は整数である。一方、 の成分も整数なので、2次正方行列の行列式を考えると も整数である。したがって、整数 とその逆数 がともに整数である。
このような整数は に限られる。よって である。