九州大学 1984年度文系数学第3問解答・解説

問題

放物線 $y = k x^{2}$ $(k > 0)$ 上に，2点 $P (α, k α^{2})$ ， $Q (β, k β^{2})$ をとる．ただし， $α < β$ とする．

(1) $P$ ， $Q$ における放物線の2接線の交点を $R$ とするとき，3角形 $P QR$ の面積を求めよ．

(2) 3角形 $P QR$ の内部にある放物線上の点 $D$ を，3角形 $P Q D$ の面積が最大になるようにとる．このとき，3角形 $P Q D$ の面積を求めよ．

出典：九州大学 1984年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

接線の方程式を $x = α, β$ でそれぞれ出し、その交点 $R$ を求める。面積は、 $P$ を基準にした $P Q$ と $P R$ の成分から計算する。(2) では $D = (t, k t^{2})$ と置き、三角形 $P Q D$ の面積が $(t - α) (β - t)$ に比例することを示して最大化する。

解答

(1)

放物線 $y = k x^{2}$ の $x = u$ における接線は $y = 2 k ux - k u^{2}$ である。したがって、 $P$ における接線は $y = 2 k α x - k α^{2}$ であり、 $Q$ における接線は $y = 2 k β x - k β^{2}$ である。

交点 $R$ では $2 k α x - k α^{2} = 2 k β x - k β^{2}$ が成り立つ。 $k > 0, α < β$ より $α \neq = β$ なので、 $2 x = α + β$ となる。よって $R = (\frac{α + β}{2}, k α β)$ である。

ここで $P Q = (β - α, k (β^{2} - α^{2}))$ であり、

P R = (\frac{β - α}{2}, k α (β - α))

である。したがって三角形 $P QR$ の面積は

\frac{1}{2} (β - α) \cdot k α (β - α) - k (β^{2} - α^{2}) \cdot \frac{β - α}{2}

である。これを整理して $\frac{k ( β - α ) ^{3}}{4}$ を得る。

(2)

放物線上の点を $D = (t, k t^{2}) (α < t < β)$ とおく。三角形 $P Q D$ の面積は

\frac{1}{2} (β - α) \cdot k (t^{2} - α^{2}) - k (β^{2} - α^{2}) (t - α)

である。共通因子を整理すると $\frac{k}{2} (β - α) (t - α) (β - t)$ となる。

ここで $α < t < β$ なので、面積を最大にするには $(t - α) (β - t)$ を最大にすればよい。この積は $t = \frac{α + β}{2}$ のとき最大となり、その最大値は $(\frac{β - α}{2})^{2}$ である。

したがって、最大の面積は

\frac{k}{2} (β - α) (\frac{β - α}{2})^{2} = \frac{k ( β - α ) ^{3}}{8}

である。

九州大学 1984年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1984年度
文系数学第3問