九州大学 1984年度文系数学第1問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ ， $c$ を実数とするとき，次の不等式を示せ．

(1) $\int_{- 1}^{1} (x^{3} + a x^{2} + b x + c)^{2} d x ≧ \int_{- 1}^{1} (x^{3} + b x)^{2} d x$

(2) $\int_{- 1}^{1} (x^{3} + b x)^{2} d x ≧ \int_{- 1}^{1} (x^{3} - \frac{3}{5} x)^{2} d x$

出典：九州大学 1984年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

(1) は $x^{3} + b x$ を奇関数部分、 $a x^{2} + c$ を偶関数部分として分ける。対称区間 $[- 1, 1]$ では奇関数と偶関数の積の積分が $0$ になるので、差は平方の積分として非負になる。(2) は $b$ だけの二次式にして、平方完成または頂点で最小値を求める。

解答

(1)

まず $x^{3} + a x^{2} + b x + c = (x^{3} + b x) + (a x^{2} + c)$ と分ける。ここで $x^{3} + b x$ は奇関数、 $a x^{2} + c$ は偶関数である。したがって、その積 $(x^{3} + b x) (a x^{2} + c)$ は奇関数であり、対称区間で積分すると $\int_{- 1}^{1} (x^{3} + b x) (a x^{2} + c) d x = 0$ となる。

よって $\int_{- 1}^{1} (x^{3} + a x^{2} + b x + c)^{2} d x$

= \int_{- 1}^{1} (x^{3} + b x)^{2} d x + 2 \int_{- 1}^{1} (x^{3} + b x) (a x^{2} + c) d x + \int_{- 1}^{1} (a x^{2} + c)^{2} d x

であるから、

\int_{- 1}^{1} (x^{3} + a x^{2} + b x + c)^{2} d x = \int_{- 1}^{1} (x^{3} + b x)^{2} d x + \int_{- 1}^{1} (a x^{2} + c)^{2} d x

を得る。右辺第2項は平方の積分なので $0$ 以上である。したがって

\int_{- 1}^{1} (x^{3} + a x^{2} + b x + c)^{2} d x ≧ \int_{- 1}^{1} (x^{3} + b x)^{2} d x

である。

(2)

$I (b) = \int_{- 1}^{1} (x^{3} + b x)^{2} d x$ とおく。展開すると $I (b) = \int_{- 1}^{1} (x^{6} + 2 b x^{4} + b^{2} x^{2}) d x$ である。偶関数の積分なので $I (b) = \frac{2}{7} + \frac{4}{5} b + \frac{2}{3} b^{2}$ となる。

これを平方完成すると $I (b) = \frac{2}{3} (b + \frac{3}{5})^{2} + I (- \frac{3}{5})$ である。したがって任意の実数 $b$ について $I (b) ≧ I (- \frac{3}{5})$ が成り立つ。すなわち

\int_{- 1}^{1} (x^{3} + b x)^{2} d x ≧ \int_{- 1}^{1} (x^{3} - \frac{3}{5} x)^{2} d x

である。

九州大学 1984年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1984年度
文系数学第1問