問題
空間における2直線
を考える．
(1) この2直線ととが交わるように，の値を求めよ．また，そのときの交点の座標を求めよ．
(2) 上で定めたの値に対して，2直線，を含む平面の方程式を求めよ．
出典：九州大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
2直線をそれぞれ媒介変数 で表し、3つの座標が一致する条件から を解く。平面は、交点を通り、2直線の方向ベクトルにともに垂直なベクトルを と置いて求める。
解答
(1)
直線 の共通値を とする。すると より である。
同様に、直線 の共通値を とすると である。
2直線が交わるとき、同じ点を表す が存在するので が成り立つ。第1式から 、第2式から である。よって すなわち であり、 である。
これを第3式に代入すると となる。整理して を得る。したがって であり、交点は である。
(2)
のとき、 は が1増えると が だけ変化する。したがって方向ベクトルとして を取れる。また の方向ベクトルとして を取れる。
求める平面に垂直なベクトルを とすると である。2式を引くと であり、さらに である。したがって垂直なベクトルとして を取れる。
この平面は交点 を通るので である。よって求める平面の方程式は である。