九州大学 1983年度文系数学第4問解答・解説

問題

行列 $A = (1011)$ の $k$ 個の積を $A^{k}$ とし $A + A^{2} + \dots\dots + A^{n}$ を $S_{n}$ とする．さらに $S_{1} + S_{2} + \dots\dots + S_{n}$ を $T_{n}$ とする．このとき，次の(1)，(2)に答えよ．

(1) $T_{n}$ を求めよ．

(2) $S_{n} X = T_{n}$ を満たす行列 $X$ を求めよ．

出典：九州大学 1983年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

まず $A^{k}$ を帰納的に求める。上三角行列の形が保たれ、右上成分だけが $k$ になることを確認すれば、 $S_{n}$ と $T_{n}$ は成分ごとの和で計算できる。(2)は $S_{n}$ が上三角で扱いやすいので、逆行列を使う方法と、未知成分を置いて比較する方法のどちらでもよい。

解答

{(1)

A = (1011)

である。まず

A^{2} = (1021), A^{3} = (1031)

となることから、一般に

A^{k} = (10 k 1)

と予想できる。実際、ある $k$ で成り立つとき

A^{k + 1} = A^{k} A = (10 k 1) (1011) = (10 k + 1 1)

となるので、この式はすべての正の整数 $k$ で成り立つ。

したがって

S_{n} = A + A^{2} + \dots + A^{n} = (n 0 1 + 2 + \dots + n n)

である。よって

S_{n} = (n 0 \frac{n ( n + 1 )}{2} n) .

さらに $T_{n} = S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n}$ であるから、左上と右下の成分は $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ である。右上成分は

m = 1 \sum n \frac{m ( m + 1 )}{2} = \frac{1}{2} (m = 1 \sum n m^{2} + m = 1 \sum n m)

であり、

m = 1 \sum n m = \frac{n ( n + 1 )}{2}, m = 1 \sum n m^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

を用いると $\sum_{m = 1}^{n} \frac{m ( m + 1 )}{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{6} .$ したがって

T_{n} = (\frac{n ( n + 1 )}{2} 0 \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{6} \frac{n ( n + 1 )}{2}) .

(2)

$n$ は正の整数なので $S_{n}$ は逆行列をもつ。上三角行列の逆行列を計算すると

S_{n}^{- 1} = (\frac{1}{n} 0 - \frac{n + 1}{2 n} \frac{1}{n}) .

したがって $X = S_{n}^{- 1} T_{n}$ である。積を計算すると、左上と右下の成分は $\frac{1}{n} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n + 1}{2} .$ 右上成分は $\frac{1}{n} \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{6} - \frac{n + 1}{2 n} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2}$ である。これを整理して

\frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{6} - \frac{( n + 1 ) ^{2}}{4} = \frac{( n + 1 ) { 2 ( n + 2 ) - 3 ( n + 1 )}}{12} = - \frac{n ^{2} - 1}{12} .

よって

X = (\frac{n + 1}{2} 0 - \frac{n ^{2} - 1}{12} \frac{n + 1}{2}) .

}

九州大学 1983年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(2)

九州大学 1983年度
文系数学第4問