九州大学 1983年度
文系数学 第3問（理系 第5問）
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 積分、図形と方程式
- 解法
- 内積の利用、文字消去、面積計算
- 難易度
- 7 / 10 計算量 7 / 10 目安 —
問題
y軸上に点A(0,a)をとり，曲線y=x2⋯C上に，2点B(b,b2)，C(c,c2)をAB=AC，AB⊥ACとなるようにとる．ただし，a≧1とし，0≦b<cとする．このとき，次の(1)，(2)に答えよ．
(1) BとCの座標をaを用いて表せ．
(2) 2つの線分AB，ACおよび曲線Cの弧BCによって囲まれる図形の面積を求めよ．
出典：九州大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問（理系 第5問）
方針
AB=AC と AB⊥AC を、座標の式から b2+c2 と bc の条件へ変換する。0≦b<c と a≧1 により、bc の二つの候補から正しい方を選ぶ。面積は、直角二等辺三角形 ABC の面積に、弦 BC と放物線の弧 BC の間の面積を加える。最後に c−b=1 になることを利用すると計算が短くなる。
解答
(1)
AB=(b,b2−a),AC=(c,c2−a) である。
まず AB=AC より b2+(b2−a)2=c2+(c2−a)2. 左辺から右辺を引くと (b2−c2){1+b2+c2−2a}=0. 0≦b<c だから b2=c2 であり、b2+c2=2a−1 を得る。
次に AB⊥AC より bc+(b2−a)(c2−a)=0. q=bc とおくと、すでに得た b2+c2=2a−1 を使って bc+b2c2−a(b2+c2)+a2=0 すなわち q+q2−a(2a−1)+a2=0. 整理すると q2+q+a−a2=0. これは (q−a+1)(q+a)=0 である。b,c≧0 だから q=bc≧0 であり、a≧1 なので q=a−1 を選ぶ。
よって (b+c)2=b2+c2+2bc=(2a−1)+2(a−1)=4a−3. b+c>0 であるから b+c=4a−3. また (c−b)2=b2+c2−2bc=(2a−1)−2(a−1)=1. c>b より c−b=1. したがって b=2(b+c)−(c−b)=24a−3−1, c=2(b+c)+(c−b)=24a−3+1. よって
B(24a−3−1,(24a−3−1)2),
C(24a−3+1,(24a−3+1)2)
である。
(2)
三角形 ABC は A を直角とする直角二等辺三角形である。そこで AB2=b2+(b2−a)2 を計算する。b2+c2=2a−1、bc=a−1、c−b=1 から AB=AC であることは既に分かっているので、面積は 21AB⋅AC=21AB2 である。実際に条件式を使って整理すると AB2=2a−1. したがって三角形 ABC の面積は 21(2a−1)=a−21. 次に、弦 BC と放物線 y=x2 の弧 BC の間の面積を求める。2点 B,C を結ぶ直線は、傾きが c−bc2−b2=b+c であるから y=(b+c)x−bc と書ける。よって弦と放物線の間の面積は ∫bc{(b+c)x−bc−x2}dx である。ここで (b+c)x−bc−x2=−(x−b)(x−c) だから ∫bc{(b+c)x−bc−x2}dx=6(c−b)3. c−b=1 より、この面積は 61. 求める図形は、三角形 ABC にこの弦と放物線の間の部分を加えたものである。したがって (a−21)+61=a−31. よって面積は a−31 である。
