問題
を原点とする空間に点と直線上の点とがあり，直線はに垂直であるとする．このとき，次の(1)，(2)に答えよ．
(1) 点の座標を求めよ．さらに，を求めよ．
(2) 内積の値がになるようなの値を，の範囲で求めよ．
出典：九州大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問（理系 第1問）
方針
点 は直線 上にあるので と置く。直線 が に垂直であることは、方向 との内積が0であることに等しいので、ここから を決める。長さは、 と が垂直になる直角三角形 を使うと計算が短い。最後に内積条件を の方程式に直し、 から候補を絞る。
解答
(1)
直線 上の点 は と表せる。このとき であり、直線 の方向は である。直線 が に垂直であるから となる。よって であり、 したがって
である。
また、 は直線 と同じ向きであり、 は に垂直である。したがって である。さらに は単位円上の点なので 直角三角形 に注目すると ここで よって
長さは正であるから (2) であるから
ここで であり、また
したがって
これが に等しいので すなわち だから この範囲で となるのは である。よって 別解の視点 は点 から直線 に下ろした垂線の足である。したがって、 は を方向 に沿って取り出した点と見てもよい。この見方でも がただちに得られ、以後の長さと内積の計算は同じである。