九州大学 1982年度理系数学第3問解答・解説

問題

定点 $P (p, 0)$ $(p > 0)$ で $x$ 軸に接する第1象限内の円 $C_{1}, C_{2}, \dots\dots, C_{n}, \dots\dots$ を次のように定める．円 $C_{1}$ は直線 $l_{1} : y = 22 x$ に接する．直線 $l_{1}$ に平行で，円 $C_{1}$ の中心 $O_{1}$ を通る直線を $l_{2}$ とするとき，円 $C_{2}$ は $l_{2}$ に接する．以下同様に，直線 $l_{n - 1}$ に平行で，円 $C_{n - 1}$ の中心 $O_{n - 1}$ を通る直線を $l_{n}$ とするとき，円 $C_{n}$ は $l_{n}$ に接する．このとき，次の(1)，(2)に答えよ．

(1) 円 $C_{n}$ の半径 $r_{n}$ を求めよ．

(2) 円 $C_{n}$ の面積を $S_{n}$ とするとき， $S = n = 1 \sum \infty S_{n}$ を求めよ．

出典：九州大学 1982年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

各円は $x$ 軸に点 $(p, 0)$ で接するので、中心は常に $(p, r_{n})$ と置ける。直線 $l_{1} : y = 22 x$ との距離が半径に等しい条件から $r_{1}$ を求める。以後は $l_{n}$ が $O_{n - 1}$ を通る同じ傾きの直線なので、 $O_{n}$ から $l_{n}$ までの距離が $\frac{r _{n - 1} - r _{n}}{3}$ となり、 $r_{n} = \frac{1}{4} r_{n - 1}$ が得られる。

解答

(1)

円 $C_{n}$ は $x$ 軸に点 $P (p, 0)$ で接しているので、半径を $r_{n}$ とすると中心は $O_{n} = (p, r_{n})$ である。

まず $C_{1}$ を考える。直線 $l_{1} : y = 22 x$ を $22 x - y = 0$ と書く。点 $O_{1} = (p, r_{1})$ からこの直線までの距離は

\frac{2 2 p - r _{1}}{( 2 2 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{2 2 p - r _{1}}{3}

である。これが半径 $r_{1}$ に等しいので $\frac{2 2 p - r _{1}}{3} = r_{1} .$ したがって $r_{1} = \frac{2}{2} p .$ 次に $n ≧ 2$ とする。直線 $l_{n}$ は $l_{1}$ と平行で、点 $O_{n - 1} = (p, r_{n - 1})$ を通る。したがって $l_{n}$ の方程式は $22 (x - p) - (y - r_{n - 1}) = 0$ と書ける。

点 $O_{n} = (p, r_{n})$ からこの直線までの距離は $\frac{r _{n - 1} - r _{n}}{3}$ である。これが半径 $r_{n}$ に等しいので $\frac{r _{n - 1} - r _{n}}{3} = r_{n} .$ よって $r_{n} = \frac{1}{4} r_{n - 1} .$ したがって $r_{n} = r_{1} (\frac{1}{4})^{n - 1} = \frac{2 p}{2 \cdot 4 ^{n - 1}} .$ (2)

円 $C_{n}$ の面積を $S_{n}$ とすると $S_{n} = π r_{n}^{2} .$ (1)より $r_{n}^{2} = \frac{p ^{2}}{2} (\frac{1}{16})^{n - 1}$ だから $S_{n} = \frac{π p ^{2}}{2} (\frac{1}{16})^{n - 1} .$ したがって

S = n = 1 \sum \infty S_{n} = \frac{π p ^{2}}{2} n = 1 \sum \infty (\frac{1}{16})^{n - 1} .

これは初項1、公比 $\frac{1}{16}$ の等比級数であるから $S = \frac{π p ^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{8 π p ^{2}}{15} .$ 別解の視点

直線の傾きが毎回同じなので、中心の高さだけを追えばよい。点と直線の距離公式の分母が常に3になるため、半径の漸化式がすぐに $r_{n} = \frac{1}{4} r_{n - 1}$ と分かる。

九州大学 1982年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

九州大学 1982年度
理系数学第3問