九州大学 1982年度
理系数学 第1問

解答

(1)

有理数 $\alpha$ を既約分数 $\alpha =\frac{m}{r}(r>0)$ で表す。ここで $m,r$ は互いに素である。 $f(\alpha )=0$ に $r^n$ を掛けると $m^n+a_1{m}^{n-1}r+\cdots +a_{n-1}m{r}^{n-1}+a_n{r}^n=0$ である。したがって $m^n=-r(a_1{m}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}m{r}^{n-2}+a_n{r}^{n-1}).$ 右辺は $r$ で割り切れるので、$r$ は $m^n$ を割り切る。ところが $m,r$ は互いに素であるから、$r$ が $m^n$ を割り切るには $r=1$ でなければならない。よって $\alpha =m$ は整数である。

(2)

もし方程式 $f(x)=0$ が有理数解をもつなら、(1)より整数解 $m$ をもつ。

整数 $m$ に対して、$1,2,\dots ,k$ の中に $m$ と $k$ で割った余りが同じものが存在する。すなわち、ある $r$ が存在して $r=1,2,\dots ,k,m\equiv r(\mathrm{mod}k)$ である。

係数はすべて整数なので、合同な整数を代入した整式の値も合同である。したがって $f(m)\equiv f(r)(\mathrm{mod}k).$ ところが $f(m)=0$ であるから $f(r)\equiv 0(\mathrm{mod}k).$ これは $f(r)$ が $k$ で割り切れることを意味する。

しかし $r$ は $1,2,\dots ,k$ のいずれかであり、仮定では $f(1),f(2),\dots ,f(k)$ のどれも $k$ で割り切れない。矛盾である。

したがって方程式 $f(x)=0$ は有理数の解をもたない。

別解の視点

文系第2問の3次の場合と同じ構造で、次数が $n$ に変わっても本質は変わらない。最高次係数が1であることが、有理数解の分母を消す決定的な条件である。