九州大学 1981年度理系数学第5問解答・解説

問題

袋の中に白玉が $a$ 個，赤玉が $b$ 個，黒玉が $c$ 個入っている．ただし $a ≧ 1$ ， $b ≧ 1$ ， $c ≧ 1$ ， $a + b + c = 12$ とする． $A$ ， $B$ 2人が交互にこの袋の中から玉を1個取り出し，玉の色を調べて袋の中に戻す． $A$ は白玉を取り出したら勝ち， $B$ は赤玉を取り出したら勝ちとし， $A$ ， $B$ のいずれかが勝てば，ゲームは終了するものとする．このゲームをまず $A$ から先に始めることにする．したがって，奇数回目は $A$ ，偶数回目は $B$ が玉を取り出すことになる．このとき，

(1) 1回目で $A$ が勝つ確率 $p_{1}$ ，および2回目で $B$ が勝つ確率 $q_{1}$ を求めよ．

(2) $(2 n - 1)$ 回目で $A$ が勝つ確率 $p_{n}$ を求めよ．

(3) $2 n$ 回目で $B$ が勝つ確率 $q_{n}$ を求めよ．

(4) 無限級数の和

S = p_{1} + p_{2} + \dots\dots + p_{n} + \dots\dots,

T = q_{1} + q_{2} + \dots\dots + q_{n} + \dots\dots

を $a$ ， $b$ で表せ．

(5) $a ≧ 3$ ， $b ≧ 4$ のとき， $S = T$ となる $(a, b)$ の組をすべて求めよ．

出典：九州大学 1981年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

2回を1周期として、Aが白を引かず、Bが赤を引かない確率を共通比 $r$ とする。すると $p_{n}, q_{n}$ はいずれも等比数列になるので、無限等比和で $S, T$ を求める。最後は $S = T$ を $12 a = b (12 - a)$ に直し、 $a ≧ 3$ , $b ≧ 4$ , $a + b ≦ 11$ の整数条件で絞る。

解答

{(1)1回目で $A$ が勝つには、白玉を取り出せばよい。したがって $p_{1} = \frac{a}{12}$ である。2回目で $B$ が勝つには、1回目に $A$ が白玉を取り出さず、2回目に $B$ が赤玉を取り出す必要がある。玉は毎回戻すので各回の確率は変わらない。よって $q_{1} = \frac{12 - a}{12} \cdot \frac{b}{12} = \frac{b ( 12 - a )}{144}$ である。

(2)

2回を1周期として考える。1周期でゲームが終わらない確率は、 $A$ が白を引かず、さらに $B$ が赤を引かない確率なので $r = \frac{12 - a}{12} \cdot \frac{12 - b}{12} = \frac{( 12 - a ) ( 12 - b )}{144}$ である。 $(2 n - 1)$ 回目で $A$ が勝つには、その前の $n - 1$ 周期でゲームが終わらず、次に $A$ が白玉を引けばよい。したがって

p_{n} = r^{n - 1} \frac{a}{12} = {\frac{( 12 - a ) ( 12 - b )}{144}}^{n - 1} \frac{a}{12}

である。

(3)

$2 n$ 回目で $B$ が勝つには、その前の $n - 1$ 周期でゲームが終わらず、さらにその周期の $A$ が白玉を引かず、続いて $B$ が赤玉を引けばよい。よって $q_{n} = r^{n - 1} \frac{12 - a}{12} \cdot \frac{b}{12}$ であり、

q_{n} = {\frac{( 12 - a ) ( 12 - b )}{144}}^{n - 1} \frac{b ( 12 - a )}{144}

である。

(4)

$a, b ≧ 1$ なので $0 ≦ r < 1$ であり、無限等比級数の和を使える。 $1 - r = 1 - \frac{( 12 - a ) ( 12 - b )}{144} = \frac{12 a + 12 b - ab}{144}$ である。したがって $S = \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} = \frac{a /12}{1 - r} = \frac{12 a}{12 a + 12 b - ab}$ であり、

T = n = 1 \sum \infty q_{n} = \frac{b ( 12 - a ) /144}{1 - r} = \frac{b ( 12 - a )}{12 a + 12 b - ab}

である。

(5)

$S = T$ は分母が共通なので $12 a = b (12 - a)$ と同値である。よって $b = \frac{12 a}{12 - a}$ である。また $c ≧ 1$ , $a + b + c = 12$ より $a + b ≦ 11$ である。さらに $a ≧ 3$ , $b ≧ 4$ なので、調べるべき $a$ は $3 ≦ a ≦ 7$ に限られる。

a \frac{12 a}{12 - a} 3446 5 \frac{60}{7} 612 7 \frac{84}{5}

である。このうち整数で、かつ $a + b ≦ 11$ を満たすものは $(a, b) = (3, 4), (4, 6)$ である。}

九州大学 1981年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(2)

(3)

(4)

(5)

九州大学 1981年度
理系数学第5問