問題
定数，に対してとするとき，
(1) を求めよ．
(2) 関数が微分方程式を満足するように，を定めよ．
さらに，(2)で定めたについて，次の(3)，(4)，(5)に答えよ．
(3) の極値を求めよ．
(4) の2次の導関数を求めよ．
(5) のグラフをかけ．
出典：九州大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
積の微分で を求め、微分方程式 に代入して の係数を比較する。決まった後は なので、 の符号で増減と極値、 の符号で凹凸と変曲点を調べる。グラフでは原点、極小点、変曲点、左右の極限をまとめる。
解答
(1)
であるから、積の微分により である。したがって である。
(2)
微分方程式 に を代入すると である。 なので係数を比較すると、 の係数は自動的に一致し、 の係数から すなわち を得る。また定数項から である。よって である。
(3)
以後 である。このとき であり、 だから の符号は の符号で決まる。したがって で減少し、 で増加する。よって で極小値をとり、その値は である。極大値はない。
(4)
をもう一度微分して である。
(5)
グラフを描くための特徴をまとめる。まず なので原点を通る。(3) より で極小となる。また であり、 だから、 で凹凸が変わる。その点は である。さらに であり、 では なので、左端では 軸に下側から近づく。一方、 である。
したがって、左では 軸の下側から近づき、 で凹凸を変え、 で極小となり、原点を通って右上へ増加していく曲線を描けばよい。
別解。
グラフの概形は、 であるため の符号が の符号と同じであることからも確認できる。つまり では 軸の下、 では 軸の上にあり、原点で交わる。これに と から得た極小点・変曲点を重ねれば、概形が一意に定まる。