問題
を正の数とするとき，2次関数
について，次の(1)，(2)，(3)，(4)，(5)に答えよ．
(1) 放物線と軸との交点を求めよ．
(2) 点における放物線の接線の方程式を求めよ．
(3) (2)で求めた接線と軸との交点を求めよ．
(4) 軸，軸，弧 ，および線分で囲まれた図形の面積をで表せ．ただし，は原点とする．
(5) のとき，およびの値を求めよ．
出典：九州大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
(1) から (4) は文系第1問と同じく、交点、接線、 切片、面積を順に求める。(5) では , を座標から読み取り、 に注意して を決める。最後に得た を面積式へ代入し、根号を整理する。
解答
(1)
を代入して であるから である。
(2)
なので は放物線上にある。また であるから、 における接線の傾きは である。したがって より である。
(3)
軸との交点では であるから である。 より となる。よって である。
(4)
面積 は、 の放物線の下の面積と、線分 と 軸でできる直角三角形の面積の和である。したがって である。計算すると であり、 となる。
(5)
座標から である。条件 より となる。したがって であり、 だから である。
これを (4) の式に代入する。 なので
である。
別解。
(4) の面積式を として先に保存しておくと、(5) は から を得て代入するだけで済む。小問の多い問題では、後で使う式を簡潔な形で残しておくと計算ミスを減らせる。