九州大学 1981年度理系数学第3問解答・解説

問題

$A = (3243)$ とし， $(a_{n} b_{n}) = A^{n} (10)$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ とする．ただし

A^{2} = AA, A^{3} = A A^{2}, \dots\dots, A^{n} = A A^{n - 1}, \dots\dots

である．次の(1)，(2)，(3)，(4)に答えよ．

(1) $a_{n + 1}$ を $a_{n}$ ， $b_{n}$ で表せ． $b_{n + 1}$ を $a_{n}$ ， $b_{n}$ で表せ．

(2) 正の整数 $n$ に対して， $a_{n} > b_{n} > n$ を証明せよ．

(3) 正の整数 $n$ に対して， $a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2} = 1$ を証明せよ．

(4) $n \to \infty lim \frac{a _{n}}{b _{n}}$ の値を求めよ．

出典：九州大学 1981年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

行列の積から $a_{n}, b_{n}$ の漸化式を読む。(2) は $n = 1$ を確認してから、 $a_{n + 1} - b_{n + 1} = a_{n} + b_{n} > 0$ と $b_{n + 1} > n + 1$ を示す帰納法で進める。(3) は保存される式を漸化式へ直接代入して確認する。(4) は $b_{n} \to \infty$ と $a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2} = 1$ を組み合わせる。

解答

(1)

(a_{n + 1} b_{n + 1}) = (3243) (a_{n} b_{n})

であるから $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4 b_{n}, b_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 b_{n}$ である。

(2)

$n = 1$ のとき

(a_{1} b_{1}) = (32)

であり、 $a_{1} > b_{1} > 1$ が成り立つ。 $a_{n} > b_{n} > n$ と仮定する。このとき $a_{n + 1} - b_{n + 1} = (3 a_{n} + 4 b_{n}) - (2 a_{n} + 3 b_{n}) = a_{n} + b_{n} > 0$ であるから $a_{n + 1} > b_{n + 1}$ である。また $b_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 b_{n} > 2 n + 3 n = 5 n$ であり、 $n ≧ 1$ だから $5 n > n + 1$ である。したがって $b_{n + 1} > n + 1$ である。以上より $a_{n + 1} > b_{n + 1} > n + 1$ が成り立つ。数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について $a_{n} > b_{n} > n$ である。

(3)

$n = 1$ のとき $a_{1}^{2} - 2 b_{1}^{2} = 3^{2} - 2 \cdot 2^{2} = 1$ である。さらに漸化式を用いて計算すると

a_{n + 1}^{2} - 2 b_{n + 1}^{2} = (3 a_{n} + 4 b_{n})^{2} - 2 (2 a_{n} + 3 b_{n})^{2} = 9 a_{n}^{2} + 24 a_{n} b_{n} + 16 b_{n}^{2} - 8 a_{n}^{2} - 24 a_{n} b_{n} - 18 b_{n}^{2} = a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2}

である。したがって $a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2} = 1$ ならば $a_{n + 1}^{2} - 2 b_{n + 1}^{2} = 1$ である。数学的帰納法により $a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2} = 1$ がすべての正の整数 $n$ で成り立つ。

(4)

(2) より $b_{n} > n$ であるから、 $n \to \infty$ のとき $b_{n} \to \infty$ である。(3) より $(\frac{a _{n}}{b _{n}})^{2} - 2 = \frac{1}{b _{n}^{2}}$ であるから、右辺は $0$ に近づく。したがって $(\frac{a _{n}}{b _{n}})^{2} \to 2$ である。さらに $a_{n} > b_{n} > 0$ より $a_{n} / b_{n} > 0$ なので $lim_{n \to \infty} \frac{a _{n}}{b _{n}} = 2$ である。

別解。

(4) は (3) を $(\frac{a _{n}}{b _{n}})^{2} = 2 + \frac{1}{b _{n}^{2}}$ と見るだけでよい。(2) によって $b_{n}$ が限りなく大きくなることが保証されるため、比の2乗は $2$ に近づく。正の比であることから、極限は負ではなく $2$ である。

九州大学 1981年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

別解。

九州大学 1981年度
理系数学第3問