問題
を原点とする空間において，点と点は次の3つの条件(a)，(b)，(c)を満たしている．
(a) 点は軸上にある．
(b) 点は平面上にある．
(c) 線分と線分の長さの和は1である．
点と点が条件(a)，(b)，(c)を満たしながらくまなく動くとき，線分が通過してできる立体の体積を求めよ．
出典：京都大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
まず点 が正の 軸上にある場合を考え，後で負の 軸側を対称性で2倍する。， とし，固定した 座標の断面で，線分 が到達できる 平面方向の半径を最大化する。断面半径は なので， で微分して最大を求める。得られた断面円の面積を で積分する。
解答
まず が正の 軸上にある場合を考える。 とおくと，条件(c)より であり， である。 は 平面上で，原点を中心とする半径 の円周または円板上を動くと考えてよい。方向が自由に動くため，固定した における断面は円になる。 とし，線分 上で 座標が である点を考える。 のとき，その点は から へ向かう比 の位置にある。したがって，その点の 平面方向の距離は最大で である。
固定した に対し，許される は であるから，断面半径 は である。ここで と変形できる。 で微分すると である。 では，この値は で0になり，その前後で正から負へ変わる。したがって最大は でとる。
このとき である。端点 でもこの式で断面半径が表される。
よって，正の 軸側で線分 が通過してできる立体の体積は である。 とおくと，， であり，
である。
点 は負の 軸上にも同様に動ける。負の 軸側でできる立体は正の側と合同であり，両者の共通部分は 平面上の断面だけで体積には影響しない。したがって求める体積は である。