京都大学 2023年度
理系数学 第4問

解答

$s=x^2$ とおくと，$-1\leqq x\leqq 1$ より $0\leqq s\leqq 1$ である。さらに $u=e^{-s}+\frac{s}{4}+1$ とおくと $f(x)=u+\frac{1}{u}$ である。

まず $u$ の範囲を調べる。$u$ を $s$ の関数と見ると $\frac{du}{ds}=-e^{-s}+\frac{1}{4}$ である。$0\leqq s\leqq 1$ では $e^{-s}\geqq e^{-1}$ であり，$e=2.71\cdots <4$ だから $e^{-1}>\frac{1}{4}$ である。よって $\frac{du}{ds}<0$ となり，$u$ は $0\leqq s\leqq 1$ で単調減少する。

したがって $u(0)=2,u(1)=1+\frac{1}{e}+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}+\frac{1}{e}$ であり，$\frac{5}{4}+\frac{1}{e}\leqq u\leqq 2$ である。特に $u>1$ である。

次に $F(u)=u+1/u$ とおくと，$u>1$ で $F^{\prime }(u)=1-\frac{1}{u^2}>0$ である。よって $F(u)$ は $u>1$ で単調増加する。したがって $f(x)$ は $u$ が最大のとき最大，$u$ が最小のとき最小である。

最大値は $s=0$，すなわち $x=0$ のときで $2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$ である。最小値は $s=1$，すなわち $x=\pm 1$ のときで

である。