京都大学 2023年度理系数学第1問解答・解説

問題

次の各問に答えよ．

問1 定積分 $\int_{1}^{4} x lo g (x^{2}) d x$ の値を求めよ．

問2 整式 $x^{2023} - 1$ を整式 $x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$ で割ったときの余りを求めよ．

出典：京都大学 2023年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

問1は $lo g (x^{2}) = 2 lo g x$ として部分積分する。原始関数の係数を先に確認し，上端 $x = 4$ と下端 $x = 1$ を代入する。問2は $x^{5} - 1 = (x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)$ から，割った余りの世界で $x^{5} \equiv 1$ と考える。 $2023$ を5で割った余りに落とし，次数4未満の剰余に直す。

解答

問1

$lo g (x^{2}) = 2 lo g x$ であるから $\int_{1}^{4} x lo g (x^{2}) d x = 2 \int_{1}^{4} x^{1/2} lo g x d x$ である。部分積分を用いる。 $u = lo g x$ ， $d v = x^{1/2} d x$ とすると $d u = \frac{1}{x} d x, v = \frac{2}{3} x^{3/2}$ である。したがって

2 \int x^{1/2} lo g x d x = 2 {\frac{2}{3} x^{3/2} lo g x - \int \frac{2}{3} x^{3/2} \cdot \frac{1}{x} d x} = \frac{4}{3} x^{3/2} lo g x - \frac{4}{3} \int x^{1/2} d x = \frac{4}{3} x^{3/2} lo g x - \frac{8}{9} x^{3/2}

である。よって

\int_{1}^{4} x lo g (x^{2}) d x = [x^{3/2} (\frac{4}{3} lo g x - \frac{8}{9})]_{1}^{4} = 8 (\frac{4}{3} lo g 4 - \frac{8}{9}) - (- \frac{8}{9}) = \frac{64}{3} lo g 2 - \frac{56}{9}

である。

問2

$x^{5} - 1 = (x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)$ である。したがって， $x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$ で割った余りを考えると $x^{5} \equiv 1$ である。 $2023 = 5 \cdot 404 + 3$ なので $x^{2023} = x^{5 \cdot 404 + 3} \equiv x^{3}$ である。したがって $x^{2023} - 1 \equiv x^{3} - 1$ であり， $x^{3} - 1$ は次数が3で割る式の次数4より小さい。よって求める余りは $x^{3} - 1$ である。

京都大学 2023年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

問1

問2

京都大学 2023年度
理系数学第1問