問題
平面において，2点，に対し，点は次の条件(＊)を満たすとする．
(＊) かつ点の座標は正．
次の各問に答えよ．
(1) の外心の座標を求めよ．
(2) 点が条件(＊)を満たしながら動くとき，の垂心の軌跡を求めよ．
出典：京都大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
は水平な弦で長さ ，かつ なので， は弦 を60度で見る円弧上にある。外接円の半径は正弦定理から2で， の 座標が正になる方の円は中心が原点である。(2) は外心が原点である三角形で，垂心 が を満たすことを用い， の円弧を下へ2だけ平行移動する。
解答
(1)
2点 の距離は である。 なので，三角形 の外接円の半径を とすると，正弦定理より である。したがって より である。
外心は線分 の垂直二等分線上にある。線分 の中点は であり，垂直二等分線は 軸である。 から距離2の 軸上の点は である。
中心 ，半径2の円は の範囲にあり， 座標が正である点 を含まない。よって外心は である。
(2)
(1) より，点 は を満たす円弧上を動く。
外心が原点である三角形について，垂心を とすると
が成り立つ。実際，この点を とおけば であり， なので
となり， が分かる。他の頂点についても同様に垂線条件が成り立つ。
ここで であるから である。 ， とおくと である。したがって条件 は に移る。よって垂心の軌跡は で表される円弧である。