京都大学 2021年度理系数学第3問解答・解説

問題

無限級数 $n = 0 \sum \infty (\frac{1}{2})^{n} cos \frac{nπ}{6}$ の和を求めよ．

出典：京都大学 2021年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

$cos (nπ /6)$ を複素数 $ω^{n}$ の実部として扱う。 $ω = cos (π /6) + i sin (π /6)$ とおけば，求める和は収束する複素等比級数 $\sum (ω /2)^{n}$ の実部である。和 $1/ (1 - ω /2)$ を実部が読める形に有理化して整理する。

解答

$ω = cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6}$ とおく。このとき $ω^{n} = cos \frac{nπ}{6} + i sin \frac{nπ}{6}$ であるから，求める級数は $\sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{1}{2})^{n} cos \frac{nπ}{6}$ であり，これは $\sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{ω}{2})^{n}$ の実部である。 $∣ ω ∣ = 1$ なので $\frac{ω}{2} = \frac{1}{2} < 1$ である。したがって等比級数の和は

n = 0 \sum \infty (\frac{ω}{2})^{n} = \frac{1}{1 - ω /2}

である。

ここで $ω = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ だから $1 - \frac{ω}{2} = 1 - \frac{3}{4} - \frac{1}{4} i$ である。よって

\frac{1}{1 - ω /2} = \frac{1 - \frac{3}{4} + \frac{1}{4} i}{( 1 - \frac{3}{4} ) ^{2} + ( \frac{1}{4} ) ^{2}}

である。その実部は

\frac{1 - \frac{3}{4}}{( 1 - \frac{3}{4} ) ^{2} + ( \frac{1}{4} ) ^{2}}

である。

分母を整理すると

(1 - \frac{3}{4})^{2} + (\frac{1}{4})^{2} = \frac{5 - 2 3}{4}

であるから，求める和は

\frac{4 - 3}{5 - 2 3} = \frac{( 4 - 3 ) ( 5 + 2 3 )}{25 - 12} = \frac{14 + 3 3}{13}

である。

別解。周期性を用いて6項ずつまとめることもできる。 $cos (nπ /6)$ は12周期であるが，等比的な重みがあるため，12項を1組にして等比級数にしても同じ値が得られる。ただし計算量は複素数を用いる方法の方が少ない。

京都大学 2021年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

京都大学 2021年度
理系数学第3問