問題
次の各問に答えよ．
問1 空間の3点，，を通る平面に関して点と対称な点の座標を求めよ．ただし，点が平面に関してと対称であるとは，線分の中点が平面上にあり，直線がから平面に下ろした垂線となることである．
問2 赤玉，白玉，青玉，黄玉が1個ずつ入った袋がある．よくかきまぜた後に袋から玉を1個取り出し，その玉の色を記録してから袋に戻す．この試行を繰り返すとき，回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ．ただしは4以上の整数とする．
方針
問1は3点を通る平面の方程式を求め，その法線方向に点 を反射する。符号を誤らないよう，平面を として の形で計算する。問2は 回目に初めて赤が出るため，最初の 回は赤以外で，しかも白・青・黄の3色がすべて出ている必要がある。長さ の3色列を包除原理で数える。
解答
問1
平面 は3点 を通る。方程式を とおくと，3点を代入して となる。したがって である。
法線ベクトルを とする。平面の左辺から右辺を引いた値を とおくと である。また である。
平面に関する対称点は，点 を法線方向に平面までの2倍だけ動かした点であるから である。よって
である。したがって である。
問2
回目の試行で初めて赤玉が取り出されるので，最初の 回では赤玉は一度も出ていない。さらに， 回目に赤玉が出た時点で4種類すべてが記録済みになるには，最初の 回の間に白玉，青玉，黄玉がすべて少なくとも1回ずつ出ている必要がある。
最初の 回を，白・青・黄の3色だけからなる列として数える。全体は 通りである。このうち，ある1色が一度も出ない列は 通りで，その色の選び方が3通りある。さらに，2色が一度も出ない列は1色だけが出続ける列であり，3通りである。
したがって包除原理より，白・青・黄がすべて現れる列の数は である。最後の 回目は赤玉でなければならない。各試行の色の列はすべて確率 で起こるので，求める確率は である。