京都大学 2021年度
理系数学 第2問

解答

接点を $P=\left(t,\frac{t^2+1}{2}\right)$ とおく。この曲線の導関数は $y^{\prime }=x$ であるから，点 $P$ における接線の傾きは $t$ である。したがって接線は $y-\frac{t^2+1}{2}=t(x-t)$ すなわち $y=tx+\frac{1-t^2}{2}$ である。

この接線が $x$ 軸と交わるには $t\ne 0$ である。$y=0$ とおくと，交点 $Q$ の $x$ 座標は $0=tx+\frac{1-t^2}{2}$ より $x=\frac{t^2-1}{2t}$ である。したがって $Q=\left(\frac{t^2-1}{2t},0\right)$ である。

距離の2乗を計算すると

である。

ここで $u=t^2>0$ とおくと $L^2=\frac{(u+1{)}^3}{4u}$ である。$L^2$ を最小にすれば $L$ も最小になる。対数微分の形で見ると $\frac{d}{du}\log \frac{(u+1{)}^3}{u}=\frac{3}{u+1}-\frac{1}{u}$ であり，これが0となるのは $3u=u+1,u=\frac{1}{2}$ のときである。また $u\to 0+$ または $u\to \infty$ で $L^2\to \infty$ となるので，ここで最小をとる。

したがって $L^2=\frac{(1+1/2{)}^3}{4\cdot 1/2}=\frac{27}{16}$ であり，求める最小値は $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ である。