問題
空間の8点
を頂点とする直方体OABC-DEFGを考える，点O，点F，辺AE上の点P，および辺CG上の点Qの4点が同一平面上にあるとする．このとき，四角形OPFQの面積Sを最小にするような点Pおよび点Qの座標を求めよ．また，そのときのSの値を求めよ．
出典：京都大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
辺上の点を とおく。平面が原点を通るので， が同一平面上にある条件は が の一次結合で表されることと考えればよく，ここから が出る。さらに となるため四角形 は平行四辺形である。面積は隣り合う2辺 の長さと内積から で求め， の2次式を最小化する。
解答
点 は辺 上にあり，点 は辺 上にあるので とおける。ただし である。
平面が を通るので， が同一平面上にあることは， が の一次結合で表されることと同値である。すなわち，ある実数 があって となればよい。座標で書くと である。第1，第2座標から となるので，第3座標より である。したがって である。
このとき である。よって四角形 は平行四辺形である。
隣り合う辺を と見る。平行四辺形の面積 について
である。ここで
だから
である。
この2次式は である。したがって最小となるのは のときであり，このとき である。よって であり，最小値は である。