問題
次の各問に答えよ．
問1 10進法で表された数6.75を2進法で表せ．また，この数と2進法で表された数101.0101との積として与えられる数を2進法および4進法で表せ．
問2 において，，とする．の垂心をとするとき，をとを用いて表せ．
出典：京都大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
問1は整数部と小数部を分けて2進法へ直し，積は分数で計算してから2進小数に戻す。4進法は2進法の2桁を1組にまとめればよい。問2は とおき，垂心の条件 ， を内積で表す。辺の長さと角から を先に求め，2元連立一次方程式に落とす。
解答
問1
まず である。整数部は であり，小数部は である。したがって である。
また であるから，積は である。ここで であり，
である。よって積を2進法で表すと である。
4進法へは，2進法の小数点を基準に2桁ずつまとめればよい。すなわち である。
問2
とおく。条件より
である。
垂心を とし， とおく。垂心の条件から である。したがって
である。
内積を計算すると すなわち である。これを解くと である。よって
である。