京都大学 2021年度
文系数学 第2問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系学部
- 分野
- 積分
- 解法
- 絶対値の処理、面積計算、定積分評価
- 難易度
- 3 / 10 計算量 3 / 10 目安 10分
問題
定積分∫−11x2−21x−21dxを求めよ．
出典：京都大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
絶対値の中の2次式を因数分解し，区間 [−1,1] 内で符号が変わる点を確認する。根は −1/2 と 1 であり，1 は積分区間の端点である。符号に合わせて [−1,−1/2] と [−1/2,1] に分け，後半は符号を反転して積分する。
解答
絶対値の中の式を因数分解すると x2−21x−21=(x−1)(x+21) である。よって根は x=−21,x=1 である。
区間 [−1,1] では，−1≦x≦−1/2 で (x−1)(x+21)≧0 であり，−1/2≦x≦1 で (x−1)(x+21)≦0 である。したがって求める積分を I とすると
I=∫−1−1/2(x2−21x−21)dx−∫−1/21(x2−21x−21)dx
である。
原始関数は 3x3−4x2−2x である。これを用いると ∫−1−1/2(x2−21x−21)dx=245 であり，∫−1/21(x2−21x−21)dx=−127 である。よって I=245+127=2419 である。
