京都大学 2020年度
理系数学 第6問

解答

最初に、曲線 $z=\sqrt{\log (1+x)}(0\leqq x\leqq 1)$ を$z$軸のまわりに回転させる。$z\geqq 0$であり、式を$x$について解くと $x=e^{z^2}-1$ である。したがって、$z$軸からの距離を$r=\sqrt{x^2+y^2}$とすると、$S$は $r=e^{z^2}-1,0\leqq z\leqq \sqrt{\log 2}$ で表される回転面である。

次に、この$S$を$x$軸のまわりに回転させる。固定した$x$における断面を考える。$S$上の点がその$x$座標をもつためには $|x|\leqq r=e^{z^2}-1$ でなければならない。つまり $z^2\geqq \log (1+|x|)$ である。

このとき、$S$上の点の$y$座標は $y^2=r^2-x^2=(e^{z^2}-1{)}^2-x^2$ を満たす。これを$x$軸のまわりに回転すると、断面内で$x$軸からの距離$R$は $R^2=y^2+z^2=(e^{z^2}-1{)}^2-x^2+z^2$ となる。この右辺は$z\geqq 0$で$z$が大きくなるほど増加する。したがって、固定した$x$の断面は環状領域であり、内半径は最小の$z$、外半径は最大の$z$で決まる。

最大の$z$は $z=\sqrt{\log 2}$ であり、このとき$r=1$だから $R_{\text{外}}^2=1-x^2+\log 2$ である。最小の$z$は $e^{z^2}-1=|x|$ を満たすので $z^2=\log (1+|x|)$ であり、このとき$y=0$だから $R_{\text{内}}^2=\log (1+|x|)$ である。

よって、固定した$x$での断面積は $\pi \{1-x^2+\log 2-\log (1+|x|)\}$ である。$x$の範囲は$-1\leqq x\leqq 1$で、断面積は偶関数なので、体積は $V=2\pi {\int }_0^1\{1-x^2+\log 2-\log (1+x)\}dx$ である。

ここで ${\int }_0^1\log (1+x)dx={\left[(1+x)\log (1+x)-(1+x)\right]}_0^1=2\log 2-1$ である。したがって