問題
正の整数に対して，
の形に書いたとき，と定める．例えば，である．
は整数で，次の条件を満たすとする．
(i) ．
(ii) ．
(iii) は3で割り切れない．
このようなについて
とするとき，
の最大値を求めよ．また，の最大値を与えるようなをすべて求めよ．
出典：京都大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
はが3で何回割れるかを表す。は3で割り切れないので、まず法3での候補を絞り、次に法9、27、81へ順に上げる。範囲がなので、各段階で残る条件を具体的な合同条件または候補リストにする。最後に81で残った4組を直接計算し、243では割り切れないことを確認する。
解答
について、3の累乗で割り切れる条件を順に調べる。
まずは3で割り切れないので、である。法3で考えると、より である。ならなのでが必要である。ならなのでが必要である。
次に法9で調べる。上の候補をさらに確認すると、で割り切れるためには であることが必要十分である。実際、法9で、を調べればこの3通りだけが残る。
さらに法27で調べる。かつなので、候補は である。これらを法27で調べると、で割り切れるためには が必要十分である。したがってこの段階で が残る。
次に法81で調べる。、を代入し、を確認すると、で割り切れるのは である。これらはに対応している。
最後に、これら4組が243で割り切れるかを確認する。 である。右側の係数はいずれも3で割り切れない。したがって、これら4組ではであり、243で割り切れる組は範囲内に存在しない。
よって最大値は であり、その最大値を与える組は である。