京都大学 2020年度理系数学第2問解答・解説

問題

$p$ を正の整数とする． $α, β$ は $x$ に関する方程式 $x^{2} - 2 p x - 1 = 0$ の2つの解で， $∣ α ∣ > 1$ であるとする．

(1) すべての正の整数 $n$ に対し， $α^{n} + β^{n}$ は整数であり，さらに偶数であることを証明せよ．

(2) 極限 $n \to \infty lim (- α)^{n} sin (α^{n} π)$ を求めよ．

出典：京都大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

(1)は解と係数の関係から $α + β = 2 p$ 、 $α β = - 1$ を使い、 $S_{n} = α^{n} + β^{n}$ の漸化式を作る。初期値が偶整数で、漸化式の係数も整数なので帰納法で示す。(2)は $∣ α ∣ > 1$ から $α = p + p^{2} + 1 > 1$ 、 $β = - 1/ α$ と分かる。(1)で $S_{n}$ が偶整数であることを使い、 $sin (π α^{n})$ を $sin (π β^{n})$ へ移し、小さい角の極限に帰着する。

解答

(1)

方程式 $x^{2} - 2 p x - 1 = 0$ の2つの解が $α, β$ であるから、解と係数の関係より $α + β = 2 p, α β = - 1$ である。 $S_{n} = α^{n} + β^{n}$ とおく。

$α, β$ はいずれも $x^{2} = 2 p x + 1$ を満たすので、 $n ≧ 0$ に対して

α^{n + 2} = 2 p α^{n + 1} + α^{n}, β^{n + 2} = 2 p β^{n + 1} + β^{n}

である。両式を足して $S_{n + 2} = 2 p S_{n + 1} + S_{n}$ を得る。

初期値は $S_{0} = 2, S_{1} = α + β = 2 p$ であり、どちらも偶整数である。漸化式 $S_{n + 2} = 2 p S_{n + 1} + S_{n}$ では、 $2 p S_{n + 1}$ も $S_{n}$ も偶整数なら $S_{n + 2}$ も偶整数である。よって数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について $S_{n} = α^{n} + β^{n}$ は偶整数である。

(2)

2つの解は $p + p^{2} + 1, p - p^{2} + 1$ である。 $p$ は正なので、 $∣ α ∣ > 1$ を満たす解は $α = p + p^{2} + 1 > 1$ であり、もう一方は $β = p - p^{2} + 1 = - \frac{1}{α}$ である。

(1)より $S_{n} = α^{n} + β^{n}$ は偶整数である。したがって $α^{n} = S_{n} - β^{n}$ であり、 $sin (π α^{n}) = sin {π (S_{n} - β^{n})}$ である。 $S_{n}$ は偶整数なので、 $sin (π S_{n} - x) = - sin x$ より $sin (π α^{n}) = - sin (π β^{n})$ となる。

さらに $β^{n} = (- 1)^{n} α^{- n}$ であるから

sin (π β^{n}) = sin {(- 1)^{n} π α^{- n}} = (- 1)^{n} sin (π α^{- n})

である。よって

(- α)^{n} sin (π α^{n}) = (- 1)^{n} α^{n} {- sin (π β^{n})} = - α^{n} sin (π α^{- n}) .

ここで $n \to \infty$ のとき $π α^{- n} \to 0$ であり、 $\frac{s i n x}{x} \to 1 (x \to 0)$ を用いると

α^{n} sin (π α^{- n}) = π \frac{sin ( π α ^{- n} )}{π α ^{- n}} \to π

である。したがって $n \to \infty lim (- α)^{n} sin (π α^{n}) = - π$ である。

京都大学 2020年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 2020年度
理系数学第2問