問題
は実数で，とする．に関する方程式
は3つの相異なる解を持ち，それらは複素数平面上で一辺の長さがの正三角形の頂点となっているとする．このとき，と（＊）の3つの解を求めよ．
出典：京都大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
3解が正三角形の頂点になるので、解の平均を正三角形の中心と見る。解の和から中心はであり、中心から頂点へのベクトルをと表す。すると方程式はになり、係数比較で、定数項でを得る。辺長条件からなので、の絶対値と実数条件を使ってと解を決定する。
解答
3つの解をとする。解の和は であるから、3点の重心は である。正三角形では重心が中心でもあるので、中心をとする。
を を満たす1でない複素数とする。中心から3頂点への複素数を と書けば、3つの解は である。したがって、これらを解にもつ方程式は である。
展開すると である。もとの方程式と係数を比較して を得る。
正三角形の辺の長さは である。これがに等しいので、である。したがって である。
または実数なので、は実数でなければならない。であり、さらにだから である。ならとなり不可能である。よってで、 となる。したがって であり、 である。
このとき方程式は であるから、はの3つの三乗根である。すなわち である。よって解は
であり、を代入すれば
である。